13.如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線,∠ABC的平分線BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:AE為⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=4,AC=6時(shí),求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,求線段BG的長(zhǎng).

分析 (1)連接OM,如圖1,先證明OM∥BC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷AE⊥BC,則OM⊥AE,然后根據(jù)切線的判定定理得到AE為⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2,再證明△AOM∽△ABE,則利用相似比得到$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$,然后解關(guān)于r的方程即可;
(3)作OH⊥BE于H,如圖,易得四邊形OHEM為矩形,則HE=OM=$\frac{3}{2}$,所以BH=BE-HE=$\frac{1}{2}$,再根據(jù)垂徑定理得到BH=HG=$\frac{1}{2}$,所以BG=1.

解答 (1)證明:連接OM,如圖1,
∵BM是∠ABC的平分線,
∴∠OBM=∠CBM,
∵OB=OM,
∴∠OBM=∠OMB,
∴∠CBM=∠OMB,
∴OM∥BC,
∵AB=AC,AE是∠BAC的平分線,
∴AE⊥BC,
∴OM⊥AE,
∴AE為⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,
∵AB=AC=6,AE是∠BAC的平分線,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2,
∵OM∥BE,
∴△AOM∽△ABE,
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$,即$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$,解得r=$\frac{3}{2}$,
即設(shè)⊙O的半徑為$\frac{3}{2}$;
(3)解:作OH⊥BE于H,如圖,
∵OM⊥EM,ME⊥BE,
∴四邊形OHEM為矩形,
∴HE=OM=$\frac{3}{2}$,
∴BH=BE-HE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∵OH⊥BG,
∴BH=HG=$\frac{1}{2}$,
∴BG=2BH=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題:熟練掌握垂徑定理、切線的判定和等腰三角形的性質(zhì);會(huì)運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算線段的進(jìn)行幾何計(jì)算.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.下面的圖形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形按照某種規(guī)律排列而成的,請(qǐng)用你敏銳的雙眼仔細(xì)觀察,探索,并推測(cè)出第15個(gè)圖形中,正方形的個(gè)數(shù)( 。
A.68B.75C.78D.88

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4.為改善南寧市的交通現(xiàn)狀,市政府決定修建地鐵,甲、乙兩工程隊(duì)承包地鐵1號(hào)線的某段修建工作,從投標(biāo)書(shū)中得知:甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的3倍;若由甲隊(duì)先做20天,剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作10天完成.
(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天?
(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為15.6萬(wàn)元,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為18.4萬(wàn)元,工程預(yù)算的施工費(fèi)用為500萬(wàn)元,為縮短工期,擬安排甲、乙兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作完成這項(xiàng)工程,那么工程預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用?若不夠用,需增加多少萬(wàn)元?

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1.如圖,在所標(biāo)識(shí)的角中,互為同旁?xún)?nèi)角的兩個(gè)角是(  )
A.∠1和∠3B.∠2和∠3C.∠1和∠4D.∠1和∠2

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8.下列判斷正確的是( 。
A.解分式必定產(chǎn)生增根
B.若分式方程的根是零,則必定是增根
C.解分式方程必須驗(yàn)根
D.x=3是方程$\frac{x}{x-3}$=2+$\frac{3}{x-3}$的根

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.甲工程隊(duì)完場(chǎng)一項(xiàng)工程需n天,乙工程隊(duì)要比甲工程隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程,兩隊(duì)共同工作一天的工作量是$\frac{2n+3}{{n}^{2}+3n}$.

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5.在$\frac{1}{x}$,$\frac{m+n}{m}$,$\frac{a^{2}}{5}$,-0.7xy+y3,$\frac{b-c}{5+a}$,$\frac{3{x}^{2}}{π}$中,分式有(  )
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

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2.如圖,直線y=kx-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),且OC=2OB
(1)求點(diǎn)B坐標(biāo)和k值.
(2)若點(diǎn)A(x,y)是直線y=kx-3上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程軸,求△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量范圍);并進(jìn)一步求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為多少時(shí),△AOB的面積為$\frac{9}{4}$;
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