Question

2．如圖，直線y=kx-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且OC=2OB
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)和k值．
（2）若點(diǎn)A（x，y）是直線y=kx-3上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動過程軸，求△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量范圍）；并進(jìn)一步求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為多少時(shí)，△AOB的面積為$\frac{9}{4}$；
（3）在上述條件下，x軸正半軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形？若存在請寫出滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)，則OC的長度即可求解，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入解析式即可求得k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；再利用函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在y=kx-3中，令x=0，則y=-3，
∴C的坐標(biāo)是（0，-3），OC=3，
∵OC=2OB，
∴OB=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，
則B的坐標(biāo)是：（$\frac{3}{2}$，0），
把B的坐標(biāo)代入y=kx-3，得：$\frac{3}{2}$k-3=0，
∴k=2；

（2）OB=$\frac{3}{2}$，
則S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（2x-3）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$；

∵△AOB的面積為$\frac{9}{4}$；
∴$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴x=3，
則A的坐標(biāo)是（3，3）；


（3）設(shè)P（m，0），（m＞0）
由（1）（2）知，A（3，3），B（$\frac{3}{2}$，0），
∴AB²=（3-$\frac{3}{2}$）²+9=$\frac{45}{4}$，AP²=（m-3）²+9=m²-6m+18，BP²=（m-$\frac{3}{2}$）²，
∵△ABP為等腰三角形，
①當(dāng)AB=AP時(shí)，∴AB²=AP²，
∴$\frac{45}{4}$=m²-6m+18，
∴m=-$\frac{3}{2}$（舍）或m=$\frac{9}{2}$，
∴P（$\frac{9}{2}$，0）
②當(dāng)AB=BP時(shí)，∴AB²=BP²，
∴$\frac{45}{4}$=（m-$\frac{3}{2}$）²，
∴m=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$（舍）或m=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，
∴P（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，0）
③當(dāng)AP=BP時(shí)，AP²=BP²，
∴m²-6m+18=（m-$\frac{3}{2}$）²，
∴m=$\frac{21}{4}$，
∴P（$\frac{21}{4}$，0）
滿足條件的P的坐標(biāo)為P（$\frac{9}{2}$，0）或（$\frac{21}{4}$，0）或（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，0）．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，體現(xiàn)了分類討論的思想，解本題的關(guān)鍵是分類討論的思想分別建立方程，此類題目還可以借助垂直平分線來確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．