Question

已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，點C為x軸上一點，AC=1，且OC＜OA．拋物線經(jīng)過點A、B、C．

（1）求該拋物線的表達式；
（2）點D的坐標為（-3，0），點P為線段AB上一點，當(dāng)銳角∠PDO的正切值為時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，該拋物線上的一點E在x軸下方，當(dāng)△ADE的面積等于四邊形APCE的面積時，求點E的坐標．

Answer 1

（1）；（2）P（1，2）；（3）

試題分析：（1）先求得直線交x軸、y軸的交點A、B的坐標，即可求得點C的坐標，最后根據(jù)點A、B、C在拋物線上，即可求得結(jié)果；
（2）由銳角∠PDO的正切值為，得，即可證得△ABO∽△ADP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AP的長，過點P作于點F，可證PF∥BO，即可證得，從而求得結(jié)果；
（3）設(shè)點E的縱坐標為m（m＜0），根據(jù)三角形的面積公式可得，即可得到，由即可列方程求解.
（1）易得：A（2，0），B（0，4）
∵AC=1且OC＜OA 
∴點C在線段OA上
∴C（1，0）
∵A（2，0），B（0，4），C（1，0）在拋物線上，
∴，解得      
∴所求拋物線的表達式為；
（2）∵銳角∠PDO的正切值為，（為銳角）
∴，　
∵點P為線段AB上一點，
∴
∴△ABO∽△ADP
∴， 
又AO=2，AB=，AD=5
∴
過點P作于點F，可證PF∥BO，
∴
可得PF=2，即點P的縱坐標是2.
∴可得P（1，2）；
（3）設(shè)點E的縱坐標為m（m＜0）， 
∴
∵P（1，2），
∴
由得，解得 
∴點E ．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．