Question

如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示），兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)探究可知，與的面積比不變，試求出這個(gè)比值；
（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

試題分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）易求得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到OC的長(zhǎng)，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無(wú)法直接求得，可用割補(bǔ)法求解，過(guò)M作MD⊥x軸于D，根據(jù)B、C、M四點(diǎn)坐標(biāo)，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進(jìn)而可得到△ABC、△BCM的面積比．
（3）首先根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點(diǎn)，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，進(jìn)而可確定拋物線的解析式．
（1）
拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m）
拋物線與軸交于兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，

解得
兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（）、（）；
（2）當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
5分
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則



=
=
=3m

（3）存在使為直角三角形的拋物線.
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為，


在中，
在中，
①如果是，且那么
即
解得，

存在拋物線使得是；
②如果是，且那么
即
解得，

存在拋物線，使得是；
③如果是，且，那么
即
整理得此方程無(wú)解.
以為直角的直角三角形不存在.
綜上所述，存在拋物線和
使得是.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．