Question

8．已知直線AB∥CD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數量關系是∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數量關系？請說明理由．
（3）如圖3，點E在直線BD的右側BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數量關系2∠BFD+∠BED=360°．

Answer 1

分析 （1）首先作EF∥AB，根據直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，據此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．
（2）首先根據BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，據此推得∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．
（3）首先過點E作EG∥CD，再根據AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，據此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；然后根據∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．

解答 解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．
理由：如圖1，作EF∥AB，
∵直線AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，
即∠ABE+∠CDE=∠BED．
故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．
理由：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠CDE=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）
∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED=360°．
理由：如圖3，過點E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED=360°．
故答案為：2∠BFD+∠BED=360°．

點評 此題主要考查了平行線的性質和應用，解答此題的關鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．