Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)D，拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=x+5經(jīng)過(guò)D、M兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AM、AC、BC，試比較∠MAB和∠ACB的大小，并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

（1）∵CD∥x軸且點(diǎn)C（0，3），
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，3），
∵直線y=x+5經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，
∴3=x+5，
∴x=-2，
即點(diǎn)D（-2，3），
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（-1，y），
又∵直線y=x+5經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，
∴y=-1+5，y=4、即M（-1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，
∴a=-1，
即拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．（3分）


（2）作BP⊥AC于點(diǎn)P，MN⊥AB于點(diǎn)N；
由（1）中拋物線y=-x²-2x+3可得：
點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=3

2

，
∴∠PAB=45°；
∵∠ABP=45°，
∴PA=PB=2

2

，
∴PC=AC-PA=

2

；
在Rt△BPC中，tan∠BCP=

PB

PC

=2，
在Rt△ANM中，∵M(jìn)（-1，4），
∴MN=4
、∴AN=2，
tan∠NAM=

MN

AN

=2，
∴∠BCP=∠NAM，
即∠ACB=∠MAB．（8分）