如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-
2
3
x2+bx+c經(jīng)過A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三點,且x2-x1=5.
(1)求b、c的值;
(2)在拋物線上求一點D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形;
(3)在拋物線上是否存在一點P,使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形?若存在,求出點P的坐標,并判斷這個菱形是否為正方形;若不存在,請說明理由.
(1)解法一:∵拋物線y=-
2
3
x2+bx+c經(jīng)過點A(0,-4),
∴c=-4
又∵由題意可知,x1、x2是方程-
2
3
x2+bx+c=0的兩個根,
∴x1+x2=
3
2
b,x1x2=-
3
2
c
由已知得(x2-x12=25
又∵(x2-x12=(x2+x12-4x1x2
=
9
4
b2-24
9
4
b2-24=25
解得b=±
14
3

當b=
14
3
時,拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上,不合題意,舍去.
∴b=-
14
3

解法二:∵x1、x2是方程-
2
3
x2+bx+c=0的兩個根,
即方程2x2-3bx+12=0的兩個根.
∴x=
3b±
9b2-96
4
,
∴x2-x1=
9b2-96
2
=5,
解得b=±
14
3

當b=
14
3
時,拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上,不合題意,舍去.
∴b=-
14
3


(2)∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),點D必在拋物線的對稱軸上,
又∵y=-
2
3
x2-
14
3
x-4=-
2
3
(x+
7
2
2+
25
6

∴拋物線的頂點(-
7
2
25
6
)即為所求的點D.

(3)∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形,點B的坐標為(-6,0),根據(jù)菱形的性質(zhì),點P必是直線x=-3與
拋物線y=-
2
3
x2-
14
3
x-4的交點,
∴當x=-3時,y=-
2
3
×(-3)2-
14
3
×(-3)-4=4,
∴在拋物線上存在一點P(-3,4),使得四邊形BPOH為菱形.
四邊形BPOH不能成為正方形,因為如果四邊形BPOH為正方形,點P的坐標只能是(-3,3),但這一點不在拋物線上.
練習冊系列答案
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n123
Sn
(1)請完成上面的表格;
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(3)你能找到一種使水槽的橫截面面積比方案乙中的y更大的設計方案嗎?若能,請畫出圖形,標出必要的數(shù)據(jù)(可不寫解答過程),寫出你所設計方案的橫截面面積;若不能,請說明理由.

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