如圖所示,對稱軸為x=3的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B,O.
(1)求拋物線的解析式,并求出頂點A的坐標;
(2)連接AB,把AB所在的直線平移,使它經過原點O,得到直線l.點P是l上一動點.設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S,點P的橫坐標為t,當0<S≤18時,求t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當t取最大值時,拋物線上是否存在點Q,使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
(1)∵點B與O(0,0)關于x=3對稱,
∴點B坐標為(6,0).
將點B坐標代入y=ax2+2x得:
36a+12=0;
∴a=-
1
3

∴拋物線解析式為y=-
1
3
x2+2x
.(2分)
當x=3時,y=-
1
3
×32+2×3=3
;
∴頂點A坐標為(3,3).(3分)
(說明:可用對稱軸為x=-
b
2a
,求a值,用頂點式求頂點A坐標)

(2)設直線AB解析式為y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
6k+b=0
3k+b=3

解得
k=-1
b=6
,
∴y=-x+6.
∵直線lAB且過點O,
∴直線l解析式為y=-x.
∵點P是l上一動點且橫坐標為t,
∴點P坐標為(t,-t).(4分)
當P在第四象限時(t>0),
S=S△AOB+S△OBP
=
1
2
×6×3+
1
2
×6×|-t|
=9+3t.
∵0<S≤18,
∴0<9+3t≤18,
∴-3<t≤3.
又∵t>0,
∴0<t≤3.(5分)
當P在第二象限時(t<0),
作PM⊥x軸于M,設對稱軸與x軸交點為N,
則S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO
=
1
2
[3+(-t)]•(3-t)+
1
2
×3×3-
1
2
(-t)(-t)

=
1
2
(t-3)2+
9
2
-
1
2
t2

=-3t+9;
∵0<S≤18,
∴0<-3t+9≤18,
∴-3≤t<3;
又∵t<0,
∴-3≤t<0;(6分)
∴t的取值范圍是-3≤t<0或0<t≤3.

(3)存在,點Q坐標為(3,3)或(6,0)或(-3,-9).(9分)
由(2)知t的最大值為3,則P(3,-3);
過O、P作直線m、n垂直于直線l;
∵直線l的解析式為y=-x,
∴直線m的解析式為y=x;
可設直線n的解析式為y=x+h,則有:
3+h=-3,h=-6;
∴直線n:y=x-6;
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式有:
y=x
y=-
1
3
x2+2x
,
解得
x=0
y=0
x=3
y=3
;
∴Q1(3,3);
同理可聯(lián)立直線n與拋物線的解析式,求得Q2(6,0),Q3(-3,-9).
(說明:點Q坐標答對一個給1分)
練習冊系列答案
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已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C(0,3),過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D,拋物線的頂點為M,直線y=x+5經過D、M兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連接AM、AC、BC,試比較∠MAB和∠ACB的大小,并說明你的理由.

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(1)填空:直線OC的解析式為______;拋物線的解析式為______;
(2)現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動,使其頂點M始終在線段OC上(包括端點O、C),拋物線與y軸的交點為D,與AB邊的交點為E;
①是否存在這樣的點D,使四邊形BDOC為平行四邊形?如存在,求出此時拋物線的解析式;如不存在,說明理由;
②設△BOE的面積為S,求S的取值范圍.

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(2)A,B的中點是點C,則sin∠CMB=______.
(3)如果過點M的一條直線與y=mx2+nx+p圖象相交于另一點N(a,b),a,b滿足a2-a+m=0,b2-b+m=0,則點N的坐標為______.

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(1)求點A的坐標;
(2)當∠ABC=45°時,求m的值;
(3)已知一次函數(shù)y2=kx+b,點P(n,0)是x軸上的一個動點,在(2)的條件下,過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M,交二次函數(shù)y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的圖象于N.若只有當-2<n<2時,點M位于點N的上方,求這個一次函數(shù)的解析式.

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(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設點A的坐標為(x,y),試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數(shù)解析式,并求出自變量x的取值范圍;
(3)是否存在這樣的矩形ABCD,使它的周長為9?試證明你的結論.
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(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標;
(3)點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.
①當M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標;
②當M點運動到何處時,四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的坐標.

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(2)己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點F、G分別在AC、BC上,設OD=m,矩形DEFG的面積為S,當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接DF并延長至點M,使FM=
2
5
DF
,求出此時點M的坐標;
(3)若點Q是拋物線上一點,且橫坐標為-4,點P是y軸上一點,是否存在這樣的點P,使得△BPQ是直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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