如圖，頂點坐標為（2，-1）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）依題意，設拋物線的解析式為 y=a（x-2）2-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）2-1=3，a=1
∴拋物線的解析式：y=（x-2）2-1=x2-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
設直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點B的坐標后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直線BC：y=-x+3；
由（1）知：拋物線的對稱軸：x=2，則 D（2，1）；
∴AD=
AG2+DG2
=
2
，AC=
OC2+OA2
=
10
，CD=
(3-1)2+22
=2
2
，
即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S△ACD=
1
2
AD•CD=
1
2
×
2
×2
2
=2．

（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x軸；
將點D縱坐標代入拋物線的解析式中，得：
x2-4x+3=1，解得 x=2±
2
；
當x=2+
2
時，y=-x+3=1-
2
；
當x=2-
2
時，y=-x+3=1+
2
；
∴E1（2+
2
，1-
2
）、E2（2-
2
，1+
2
）．
②∠EDF=90°；
易知，直線AD：y=x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x2-4x+3=x-1，
x2-5x+4=0，
解得 x1=1、x2=4；
當x=1時，y=-x+3=2；
當x=4時，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2）、E4（4，-1）．
綜上，存在符合條件的點E，且坐標為：（2+
2
，1-
2
）、（2-
2
，1+
2
）、（1，2）或（4，-1）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與x軸交于點A（3，0），B（8，0），與y軸交于點C，且AC平分∠OCB，直線l是它的對稱軸．
（1）求直線l和拋物線的解析式；
（2）直線BC與l相交于點D，沿直線l平移直線BC，與直線l，y軸分別交于點E，F(xiàn)，探究四邊形CDEF為菱形時點E的坐標；
（3）線段CB上有一動點P，從C點開始以每秒一個單位的速度向B點運動，PM⊥BC，交線段CA于點M，記點P運動時間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t（0＜t≤6）之間的關系式，并確定在運動過程中y的最大值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸相交于點C．連接AC，BC，A（-3，0），C（0，
3
），且當x=-4和x=2時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
①當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
②拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以B、N、Q為頂點的三角形與△A0C相似？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
③當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，得到△PMN．并記△PMN與△AOC的重疊部分的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D，拋物線的頂點為M，直線y=x+5經(jīng)過D、M兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AM、AC、BC，試比較∠MAB和∠ACB的大小，并說明你的理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖（1）己知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸正半軸交于點C，且
cos∠CAB=
10
10
．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（2），己知點H（0，1）．問在拋物線上是否存在點G，使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（3），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（2，0），F(xiàn)是OC的中點，連接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線與x交于A（-1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．
（3）若點P為第一象限拋物線上一動點，連接BP、PE，求四邊形ABPE面積的最大值，并求此時P點的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O為坐標原點建立直角坐標系，使點A在x軸正半軸上，OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點，拋物線的頂點是原點O，且經(jīng)過C點．
（1）填空：直線OC的解析式為______；拋物線的解析式為______；
（2）現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動，使其頂點M始終在線段OC上（包括端點O、C），拋物線與y軸的交點為D，與AB邊的交點為E；
①是否存在這樣的點D，使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在，求出此時拋物線的解析式；如不存在，說明理由；
②設△BOE的面積為S，求S的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=-mx2+4m的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結論．
（4）求出當x為何值時P有最大值？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，中國首個空間實驗室“天宮一號”于2011年9月29日成功發(fā)射．某科技實驗小組也自行設計了火箭，經(jīng)測試，該種火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度h（m）與時間t（s）的關系可以用公式h=-t2+10t-15表示，經(jīng)過______s，火箭達到它的最高點10米處．

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