7.如圖,直線DE過等邊△ABC的頂點(diǎn)B,連接AD、CE,AD∥CE,∠E=30°,若BE:AD=1:$\sqrt{3}$,CE=4$\sqrt{3}$時(shí),則BC=2$\sqrt{7}$.

分析 作輔助線,構(gòu)建全等三角形和直角三角形,由旋轉(zhuǎn)得:∠PCE=60°,∠APC=∠E=30°,根據(jù)BE:AD=1:$\sqrt{3}$,設(shè)AD=$\sqrt{3}$x,BE=x,則AP=BE=x,根據(jù)三角函數(shù)表示PF、PH、AH、GH的長,根據(jù)PG=GH+PH列式求x的長,得BE=2,在△BGC中,利用勾股定理求得BC的長.

解答 解:將△CBE繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CAP,BC與AC重合,延長DA交PC于H,過H作HF⊥AP于F,CP交DE于G,
∴∠PCE=60°,
∵∠E=30°,
∴∠CGE=90°,
由旋轉(zhuǎn)得:CE=CP,
Rt△CGE中,CE=CP=4$\sqrt{3}$,
∴CG=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{3}$,
∴GP=PC-CG=2$\sqrt{3}$,
∵AD:BE=$\sqrt{3}$:1,
設(shè)AD=$\sqrt{3}$x,BE=x,則AP=BE=x,
∵AD∥BE,
∴∠ADE=∠E=30°,
Rt△DGH中,∠DHG=60°,
由旋轉(zhuǎn)得:∠APC=∠E=30°,
∴∠HAP=60°-30°=30°,
∴∠HAP=∠APC=30°,
∴AH=PH,AF=PF=$\frac{1}{2}$x,
cos30°=$\frac{PF}{PH}$,
∴PH=$\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
∴DH=AD+AH=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x,
∴GH=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x,
∵PG=2$\sqrt{3}$=GH+PH,
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
x=2,
∴BE=x=2,
由勾股定理得:EG=$\sqrt{E{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$=6,
∴BG=6-2=4,
在Rt△BGC中,BC=$\sqrt{B{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{7}$;
故答案為:$2\sqrt{7}$.

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形、特殊的三角函數(shù)等知識(shí)的運(yùn)用,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)作輔助線,利用等邊三角形60°角將三角形平移到另一位置中,根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半解決此題.

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17.已知△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于D點(diǎn),若∠BDA=105°,求∠A的度數(shù).

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18.下列說法正確的是( 。
A.長方形的長是a米,寬比長短25米,則它的周長可表示為(2a-25)米
B.6h表示底為6,高為h的三角形的面積
C.10a+b表示一個(gè)兩位數(shù),它的個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b
D.甲、乙兩人分別從相距40千米的兩地相向出發(fā),其行走的速度分別為3千米/小時(shí)和5千米/小時(shí),經(jīng)過x小時(shí)相遇,則可列方程為3x+5x=40

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15.計(jì)算.
(1)($\frac{{a}^{2}b}{-c}$)3•($\frac{{c}^{2}}{-ab}$)2÷($\frac{bc}{a}$)4
(2)$\frac{1}{{{x^2}-4x+4}}$-$\frac{x}{{{x^2}-4}}$+$\frac{1}{2x+4}$.

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2.如圖,l1∥l2∥l3,直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F.若$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$,則$\frac{DE}{DF}$等于( 。
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{3}{5}$

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12.若a-1=(-1)0,則a=1.

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19.如圖,AB為半圓O的直徑,直線CE與半圓O相切于點(diǎn)C,點(diǎn)D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn),CB=4,四邊形ABCD的面積為2$\sqrt{2}$AC,則圓心O到直線CE的距離是4$\sqrt{2}$-2.

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16.若x=$\frac{1}{2}$,則式子$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2x+1}$÷$\frac{x+1}{x-1}$×$\frac{1-x}{1+x}$的值為$\frac{1}{3}$.

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17.如圖 A,B,C 是⊙O上的三個(gè)點(diǎn),若∠AOC=100°,則∠ABC等于( 。
A.50°B.80°C.130°D.100°

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