3.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點N,交BC的延長線于點M,若∠A=40°.
(1)求∠NMB的度數(shù);
(2)如果將(1)中∠A的度數(shù)改為70°,其他條件不變,再求∠NMB的度數(shù);
(3)通過對(1)中和(2)中結果的分析,猜想∠NMB的度數(shù)與∠A的度數(shù)有怎樣的等量關系?并證明你的結論.

分析 (1)先根據(jù)等腰三角形的性質得出∠B的度數(shù),再由直角三角形的性質即可得出結論;
(2)解法同(1);
(3)設∠A=α,根據(jù)AB=AC可知∠B=∠C,再由直角三角形的性質即可得出結論.

解答 解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$(180°-40°)=70°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°;

(2)解法同(1),可得∠NMB=35°;

(3)兩者關系為:∠NMB的度數(shù)等于頂角∠A度數(shù)的一半,
證明:設∠A=α,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$(180°-α),
∵∠BNM=90°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-$\frac{1}{2}$(180°-α)=$\frac{1}{2}$α.

點評 本題考查的是等腰三角形的性質,線段垂直平分線的性質,熟知線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵.

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