Question

（本題滿分8分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，點E是BC上一動點（不與B、C重合），且DF⊥AE，垂足為F. 設AE=xcm，DF=ycm.
小題1:（1）求證：△DFA∽△ABE；（4分）
小題2:（2）試求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量的取值范圍. （4分）

Answer 1

小題1:（1）略；（4分）
小題2:（2）

（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一對直角相等，只需要再找一對角相等，因為四邊形ABCD是長方形，那么就出現(xiàn)平行線，有線的平行可得出一對內(nèi)錯角相等，故可證兩三角形相似．
（2）由（1）的相似，可得到比例線段，就可得出x與y的關系式，通過觀察圖可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范圍．
解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△DFA，
∴．
∴．
∴xy=12．
∴y=．
根據(jù)圖可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=
∴3＜x＜5．