Question

11．已知直線y=（1-k₁）x+2和雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），求：
（1）k₁和k₂的值，及B點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出函數(shù)圖象；
（2）求S_△AOB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出k₁和k₂的值，從而得出直線與雙曲線的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）令直線AB解析式中x=0可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S_△AOB的值．

解答 解：（1）將A（2，4）代入y=（1-k₁）x+2中，
4=2（1-k₁）+2，解得：k₁=0
∴直線的解析式為y=x+2；
將A（2，4）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，
4=$\frac{{k}_{2}}{2}$，解得：k₂=8，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
聯(lián)立直線與雙曲線解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-2）．
畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
（2）令x=0，則y=x+2=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×2×[2-（-4）]=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出k₁和k₂的值是解題的關(guān)鍵．