Question

3．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx-$\frac{3}{2}$的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．
（1）b=1；點D的坐標(biāo)：（-3，4）；
（2）線段AO上是否存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1；
（3）在x軸負(fù)半軸上是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點在二次函數(shù)圖象上，代入即可求得b，將二次函數(shù)換成交點式，即能得出B點的坐標(biāo)，由AD=AB可算出D點坐標(biāo)；
（2）假設(shè)存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一個關(guān)于OP長度的一元二次方程，由方程無解可得知不存在這樣的點；
（3）利用角和邊的關(guān)系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面積即是所求．

解答 解：（1）∵點A（-3，0）在二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx-$\frac{3}{2}$的圖象上，
∴0=$\frac{9}{2}$-3b-$\frac{3}{2}$，解得b=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+3）（x-1），
∴點B（1，0），AB=1-（-3）=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=4，
∴點D（-3，4），
故答案為：1；（-3，4）．
（2）直線PE交y軸于點E，如圖1，

假設(shè)存在點P，使得OE的長為1，設(shè)OP=a，則AP=3-a，
∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，
∴∠EPO=90°-∠APD=∠ADP，
tan∠ADP=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3-a}{4}$，tan∠EPO=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{3-a}{4}$=$\frac{1}{a}$，即a²-3a+4=0，
△=（-3）²-4×4=-7，無解
故線段AO上不存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1．
（3）假設(shè)存在這樣的點P，DE交x軸于點M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，
∴DP=PE，
∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形
∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，
在△PEO和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPO=∠PDA}\\{DP=PE}\\{∠PEO=∠DPA}\end{array}\right.$，
∴△PEO≌△DAP，
∴PO=DA=4，OE=AP=PO-AO=4-3=1，
∴點P坐標(biāo)為（-4，0）．
∵DA⊥x軸，
∴DA∥EO，
∴∠ADM=∠OEM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵∠AMD=∠OME（對頂角），
∴△DAM∽EOM，
∴$\frac{OM}{MA}$=$\frac{OE}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∵OM+MA=OA=3，
∴MA=$\frac{4}{1+4}$×3=$\frac{12}{5}$，
△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為$\frac{1}{2}$×AD×AM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
答：存在這樣的點P，點P的坐標(biāo)為（-4，1），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的交點式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知識，解題的關(guān)鍵是注重數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)等量關(guān)系．