Question

6．（1）如圖1，正方形ABCD中，M是BC邊上的（不含端點(diǎn)B、C）任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的角平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=90°，若在AB上截取AE=MC，連接EM，求證：AM=MN；
（2）若點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，N是∠DCP的角平分線上一點(diǎn)，∠AMN=90°，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接證明△AME≌△MNC即可．
（2）延長(zhǎng)BA到E使得AE=CM，證明△AME≌△MNC即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=∠DCB=90°，
∵AE=CM，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠BME=45°，
∴∠AEM=180°-∠BEM=135°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∵∠EAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠EAM=∠NMC，
∵CN平分∠DCP，
∴∠NCP=$\frac{1}{2}$∠DCP=45°，
∴∠NMC=180°-∠NCP=135°，
∴∠AEM=∠NCM，
在△AME和△MNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠NMC}\\{AE=CM}\\{∠AEM=∠NCM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MNC，
∴AM=MN．
（2）在圖2中，延長(zhǎng)BA到E使得AE=CM，連接EM．
∵AB=BC，AE=CM，∠B=90°，
∴BE=BM，∠E=∠BME=45°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠NMP=90°，
∴∠BAM=∠NMP，
∴∠EAM=∠NMC，
∵∠AEM=∠NCM=45°，
在△AME和△MNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠NMC}\\{AE=CM}\\{∠AEM=∠NCM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MNC，
∴AM=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形、全等三角形的判定，證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明三角形全等是常用的方法，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)輔助線的添加．