Question

將自然數(shù)1，2，3…15，這15個自然數(shù)分成兩組數(shù)A和B．求證：A或者B中，必有兩個不同的數(shù)的和為完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：運用反證法，假設A、B兩組中都沒有不同的兩個數(shù)的和是完全平方數(shù)，逐步討論，證明它是錯誤的即可．

解答：解：假設A、B兩組中都沒有不同的兩個數(shù)的和是完全平方數(shù)．
不妨設1在A組
1+3=4=2²，1+15=16=4²；
所以3，15都在B組
3+6=9=3²；
6須在A組
6+10=16=4²；
又得到10應在B組，這時，B組已有兩數(shù)和為完全平方數(shù)了．
10+15=25=5²；
所以，在A組或B組中，必有兩個不相同的數(shù)的和為完全平方數(shù)．

點評：本題利用反證法，通過計算出A、B兩組數(shù)字中兩個數(shù)的和都有完全平方數(shù)即可證明．