已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

某市為了解決交通擁堵問題，一方面改建道路、加強管理，一方面控制汽車總量增長．交管部門擬從2012年1月起，在一段時間內，對新車上牌采用搖號（類似于抽簽）的方法進行控制，制定如下方案：①每月進行一次搖號，從當月所有申請用戶以及以前沒有搖到號的申請用戶中，搖出當月上牌的用戶，搖到叼的用戶不再參加以后的搖號；②當月沒有搖到號的申請者自動加入下一個月的搖號，不必也不能重復申請．預計2012年1月申請車牌的用戶有10a個，以后每個月又有a個新用戶申請車牌；計劃2012年1月車牌a個，以后每月發(fā)放車牌數(shù)比上月增加5%，以2012年1月為第一個月，設前n（n∈N^*）個月申請車牌用戶的總數(shù)為a_n，前n個月發(fā)放車牌的總數(shù)為b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整數(shù)為n₀．（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n關于n的表達式，直接寫出n₀的值，說明n₀的實際意義；
（2）當n≤n₀，n∈N^*時，設第n個月中簽率為y_n，求證：中簽率y_n隨著n的增加而增大．（第n個月中簽率=

第n個月發(fā)放車牌數(shù)

第n個月參加搖號的用戶數(shù)

）

某市為了解決交通擁堵問題，一方面改建道路、加強管理，一方面控制汽車總量增長．交管部門擬從2012年1月起，在一段時間內，對新車上牌采用搖號（類似于抽簽）的方法進行控制，制定如下方案：①每月進行一次搖號，從當月所有申請用戶以及以前沒有搖到號的申請用戶中，搖出當月上牌的用戶，搖到叼的用戶不再參加以后的搖號；②當月沒有搖到號的申請者自動加入下一個月的搖號，不必也不能重復申請．預計2012年1月申請車牌的用戶有10a個，以后每個月又有a個新用戶申請車牌；計劃2012年1月車牌a個，以后每月發(fā)放車牌數(shù)比上月增加5%，以2012年1月為第一個月，設前n（n∈N^*）個月申請車牌用戶的總數(shù)為a_n，前n個月發(fā)放車牌的總數(shù)為b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整數(shù)為n．（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n關于n的表達式，直接寫出n的值，說明n的實際意義；
（2）當n≤n，n∈N^*時，設第n個月中簽率為y_n，求證：中簽率y_n隨著n的增加而增大．（第n個月中簽率=）