題目列表(包括答案和解析)
高三數(shù)學(xué)試卷(理科) 2009.4
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
C
D
A
一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.
二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.
9.
10. 10,243 11.
12.
13. 24 14.
注:兩空的題目,第一個(gè)空3分,第二個(gè)空2分.
三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分.
15.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:記 “2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A. -----------------------------1分
由題意,得事件A的概率,
即2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.
---------------------------5分
(Ⅱ)解:由題意,ξ的可能取值為2,0, ----------------------------6分
每次匯報(bào)時(shí),男生被選為代表的概率為,女生被選為代表的概率為
.
;
;
所以,的分布列為:
2
0
P
---------------------------10分
的數(shù)學(xué)期望
.
---------------------------12分
16.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:由三角函數(shù)的定義,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為. ---------------------------1分
在中,|OB|=2,
,
由正弦定理,得,即
,
所以 .
---------------------------5分
注:僅寫出正弦定理,得3分. 若用直線AB方程求得也得分.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得, ------------------7分
因?yàn)?sub>,
所以,
----------------------------9分
又
,
---------------------------11分
所以.
---------------------------12分
17.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)證明:在中,
,
,
,即
,
---------------------------1分
,
平面
.
---------------------------4分
(Ⅱ)方法一:
解:由(Ⅰ)知,
又,
平面
,
---------------------------5分
如圖,過C作于M,連接BM,
是BM在平面PCD內(nèi)的射影,
,
又
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在中,
, PC=1,
,
,
又,
,
. ---------------8分
在中,
, BC=1,
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
---------------------------9分
方法二:
解:如圖,在平面ABCD內(nèi),以C為原點(diǎn), CD、CB、CP分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
則,
---------------------------5分
過C作于M,連接BM,設(shè)
,
則
,
,
;
1
共線,
,
2
由12,解得,
點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
,
,
,
,
又,
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
,
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------9分
(Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h,
,
,
平面ABCD,
,
,
在直角梯形ABCD中,,
.
在中,
,
,
,
,
的面積
,
---------------------------10分
三棱錐B-PAD的體積
,
,
---------------------------12分
即,解得
,
點(diǎn)B到平面PAD的距離為
.
---------------------------14分
18.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
,
---------------------------1分
.
---------------------------4分
因?yàn)?sub>,所以
.
---------------------------5分
(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>
,
所以,故
在
上是減函數(shù); ------------------------7分
當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)時(shí),
,故
在
上是減函數(shù),
當(dāng)時(shí),
,故
在
上是減函數(shù),
因?yàn)楹瘮?shù)在
上連續(xù),
所以在
上是減函數(shù);
---------------------------9分
當(dāng)0<a<1時(shí),由, 得x=
,或x=
. --------------------------10分
x變化時(shí),的變化如情況下表:
0
+
0
極小值
極大值
所以在
上為減函數(shù)、在
上為減函數(shù);
在
上為增函數(shù).
------------------------13分
綜上,當(dāng)時(shí),
在
上是減函數(shù);
當(dāng)0<a<1時(shí),在
上為減函數(shù)、在
上為減函數(shù);
在
上為增函數(shù).
------------------------14分
19.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:設(shè)A(x1, y1),
因?yàn)锳為MN的中點(diǎn),且M的縱坐標(biāo)為3,N的縱坐標(biāo)為0,
所以,
---------------------------1分
又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1, y1)在橢圓C上
所以,即
,解得
,
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或
,
-------------------------3分
所以直線l的方程為或
. --------------------------5分
(Ⅱ)解:設(shè)直線AB的方程為或
,A(x1, y1),B(x2, y2),
,
當(dāng)AB的方程為時(shí),
,與題意不符.
--------------------------6分
當(dāng)AB的方程為時(shí):
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解,
消去y得,
所以即
,
則,
---------------------------8分
因?yàn)?,
所以,解得
,
所以.
--------------------------10分
因?yàn)?sub>,即
,
所以當(dāng)時(shí),由
,得
,
上述方程無解,所以此時(shí)符合條件的直線不存在; --------------------11分
當(dāng)時(shí),
,
,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,
所以,
-------------------------12分
化簡(jiǎn)得,
因?yàn)?sub>,所以
,
則.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
---------------------------14分
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:由題意,創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列有兩個(gè),即:
(1)數(shù)列3,4,1,5,2; ---------------------------2分
(2)數(shù)列3,4,2,5,1. ---------------------------3分
注:寫出一個(gè)得2分,兩個(gè)寫全得3分.
(Ⅱ)答:存在數(shù)列,它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.
解:設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為
,
因?yàn)?sub>為
中的最大值.
所以.
由題意知:為
中最大值,
為
中最大值,
所以,且
.
若為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則
,且
N, -----------------5分
當(dāng)d=0時(shí),為常數(shù)列,又
,
所以數(shù)列為
,此時(shí)數(shù)列
是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列;
當(dāng)d=1時(shí),因?yàn)?sub>,
所以數(shù)列為
,此時(shí)數(shù)列
是
; --------------------7分
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>
,
又,所以
,
這與矛盾,所以此時(shí)
不存在,即不存在
使得它的創(chuàng)新數(shù)列為
的等差數(shù)列.
綜上,當(dāng)數(shù)列為:(1)首項(xiàng)為m的任意符合條件的數(shù)列;(2)數(shù)列
時(shí),它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.
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