題目列表(包括答案和解析)
如圖,在三棱錐中,是正三角形,,D是的中點,二面角為120,,.取AC的中點O為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示,BD交z軸于點E.
(I)求B、D、P三點的坐標;
(II)求異面直線AB與PC所成的角;
如圖,在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(I)求證:PD⊥BC;
(II)求二面角B—PD—C的正切值。
【解析】第一問利用∵平面PCD⊥平面ABCD,又∵平面PCD∩平面ABCD=CD,
BC在平面ABCD內 ,BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD.
∴PD⊥BC.
第二問中解:取PD的中點E,連接CE、BE,
為正三角形,
由(I)知BC⊥平面PCD,∴CE是BE在平面PCD內的射影,
∴BE⊥PD.∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角,進而求解。
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(12分)
學校欲在操場邊上一直角三角形空地ABC上種植草坪,并需鋪設一根水管EF(E在AC上,F在AB上)用于灌溉,已知∠A=30°,∠C=90°,BC=2a,D是BC中點,為確保灌溉的效果,鋪設時要求∠EDF=60°,F有兩種方案可供參考。甲方案:取AC的中點E鋪設水管;乙方案:取AB的中點F鋪設水管。
(1)比較甲乙兩種方案,哪一種方案更合理(EF的長較小的合理);
(2)學校研究小組通過研究得出:無論D在BC的什么位置,總存在E,F兩點,使△DEF為正三角形。試證明該結論的正確性。
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥側面AC1.
(Ⅰ)求證:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數.
注意:在下面橫線上填寫適當內容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)證明:在截面A1EC內,過E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵
∴EG⊥側面AC1;取AC的中點F,連結BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵
∴BF⊥側面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側面AC1于FG.
③ ∵
∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
④ ∵
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵
即,故
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