3、復(fù)合法：例如，求函數(shù))的值域。可用復(fù)合法：

　　　 設(shè)，　　 ①

　　　 則.　 ②

　　　 把函數(shù)②寫(xiě)成

　　　 ∴函數(shù)y的值域是。

　　　 其中，把函數(shù)寫(xiě)成①、②兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合，即

　　　 y=f(u), u=sinx。

　　　 這就是復(fù)合映射的方法，簡(jiǎn)稱復(fù)合法。其實(shí)質(zhì)是一種換元法。本節(jié)暫不深究，以后再學(xué)習(xí)。

問(wèn)7.怎樣求f(x)？舉例說(shuō)明。

[探路]

　　 求f(x)的方法應(yīng)該是具體問(wèn)題具體分析，依據(jù)問(wèn)題的已知條件和問(wèn)題類型，自我探索求法。這里，

　　 只能總結(jié)常用的方法，當(dāng)然，這一總結(jié)也應(yīng)該是“自我總結(jié)”，因?yàn)椤白晕铱偨Y(jié)”是學(xué)習(xí)的上策。

[解]求f(x)的常用方法是：

2、分段法：掌握分段函數(shù)。

　　 例如，把函數(shù)y=|x+1|-|x-2|化為分段函數(shù)是

1、一般表示法：解析法、圖象法、列舉法。

4、應(yīng)該知道，函數(shù)的決定性要素是兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定的，

　　　 因而今后有“求函數(shù)的值域”的很多難題。因此，研究函數(shù)的任何問(wèn)題都必須由定義域和對(duì)應(yīng)法

　　　 則這兩個(gè)獨(dú)立要素下手。但很多人往往“忽視定義域”的錯(cuò)誤。

問(wèn)5：怎樣判別兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)？

[解]要根據(jù)函數(shù)三要素來(lái)判別。

　　 判別法一(充要)：“定義域相同”且“對(duì)應(yīng)法則等價(jià)”。

　　 判別法二(充要)：兩個(gè)函數(shù)的圖象完全重合，則兩函數(shù)是同一函數(shù)。

　　 判別法三(必要)：

　　 (1)定義域不同，則函數(shù)不同。

　　 (2)值域不同，則函數(shù)不同。

問(wèn)6：怎樣表示函數(shù)？

[解]應(yīng)掌握以下表示法：

3、值域C是B的子集，當(dāng)B中的每一元素都有原象時(shí)，B=C。

2、函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有的簡(jiǎn)記作函數(shù)f(x)。而f(a)表示自變量x=a(a∈A) 時(shí)

　　　 的函數(shù)值(象)。

1、函數(shù)是特殊的映射，特別僅在A、B是非空數(shù)集。函數(shù)、一一映射、映射、對(duì)應(yīng)之間的關(guān)系，

　　　 如圖1所示。

4、映射是一種特殊的“對(duì)應(yīng)”。而“對(duì)應(yīng)”與集合一樣，也是原始概念，即無(wú)定義的，但可以“說(shuō)

　　　 明”：對(duì)應(yīng)是兩個(gè)集合A與B的關(guān)系，通常以一個(gè)集合為主來(lái)考慮，對(duì)于A中的每一個(gè)元素來(lái)說(shuō)，有

　　　 以下三種對(duì)應(yīng)關(guān)系：

　　 (1)B中有唯一元素與之對(duì)應(yīng)。

　　 (2)B中有多個(gè)元素(不是唯一)與之對(duì)應(yīng)。

　　 (3)B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)。

　　　　 映射就是第(1)種對(duì)應(yīng)，而(2)、(3)兩種對(duì)應(yīng)不是映射。

問(wèn)2：在映射f∶A→B中，什么叫“象”和“原象”？怎樣判別一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射？試舉一個(gè)正例和反例。

[解]在映射f∶A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，元素b叫做元素a的象，元素a叫

　　　 做元素b的原象，記作：f(a)=b。

　　　 判別一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射f∶A→B的要點(diǎn)是：

　　 ①A到B；

　　 ②A中每一個(gè)元素都有象，且象唯一

　　 例如，判別下面的對(duì)應(yīng)是不是映射f∶A→B？

　　 (1)A={三角形}，B={圓}，對(duì)應(yīng)法則f∶作三角形的外接圓。

　　 (2)A=B=R，對(duì)應(yīng)法則f∶x→y=

　　　 解：(1)是映射。(2)不是映射，因?yàn)?∈A，但0的象不存在。

問(wèn)3：什么叫A到B上的一一映射？試舉一個(gè)正例和反例。

[解]如果映射f∶A→B再滿足：

　　　 那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射。

　　　 例如，下面的映射f∶A→B是不是一一映射？

　　 (1)A={三角形}，B={圓}，對(duì)應(yīng)法則f∶作三角形的外接圓。

　　 (2)A={x|x≥0}，B={y|y≥0}，對(duì)應(yīng)法則f∶x→y=x².

　　 解：

　　 (1)不是一一映射，因?yàn)椴煌�的三角形可以有同一個(gè)外接圓(一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有無(wú)數(shù)個(gè))，

　　　　 即A中不同元素在B中有同一個(gè)象。

　　 (2)是一一映射，因?yàn)樗鼭M足一一映射的條件：

　　　　 ①設(shè)x₁,x₂∈A，且x₁≠x₂，則由x₁≥0，x₂≥0，x₁≠x₂Þy₁==y₂；

　　　　 ②設(shè)任一個(gè)y₁∈B，則由x₁≥0Þy₁=x²Þx=。

問(wèn)4：什么叫函數(shù)(用映射回答)？函數(shù)的定義域、值域？指出函數(shù)的要素。

[解]

　　 如果A，B都是非空數(shù)集，那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x)(x∈A，y∈B)。

　　 原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域；象的集合C(CÍB)叫做函數(shù)y=f(x)

　　 的值域。

　　 函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域，通常稱為函數(shù)的三要素。

[評(píng)注]

3、在A到B的映射中，集合A中的每一個(gè)元素在B中都有“象”，且“象”唯一。

2、映射f∶A→B是有方向的，即從A到B，定義中只要求A中的每一個(gè)元素在B中有怎樣的“象”？并不

　　　 要求B中的每一個(gè)元素在A中有怎樣的對(duì)應(yīng)。因此，“從A到B的映射”與“從B到A的映射”是不

　　　 同的。