北京市2009屆高三第二次模擬考試
數(shù)學(xué)文科
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．某大學(xué)有學(xué)生1500人，其中漢族學(xué)生1200人，回族學(xué)生250人，藏族學(xué)生50人，學(xué)校食堂為了解學(xué)生的就餐情況，現(xiàn)抽取容量是150的樣本，則抽取回族學(xué)生人數(shù)是（ ）
A．15
B．
3．已知集合
，集合
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．設(shè)向量
，
，若
∥
，則
（ ）
A．-1
B．
5．已知正項等差數(shù)列
的前6項和為9，
成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差為（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．若雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，則此雙曲線的漸近線方程是( )
A.
y=x+3
B. y=x
7.設(shè)
、
為正實數(shù)，則下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設(shè)
是
展開式的中間項，若
在區(qū)間
上恒成立，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．函數(shù)
的最小正周期是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半徑為
的球
，若截面圓的內(nèi)接正三角形
的邊長亦為，則三棱錐
的體積為（
）
A．
B．
C．
D．
11.設(shè)
是函數(shù)
的反函數(shù)，則
與
的大小關(guān)系為（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直線
，
將圓面
分成若干塊，現(xiàn)用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13． “
”是“
表示直線
右側(cè)區(qū)域”的 條件。
14．已知數(shù)列的前
項和
比集合
的子集個數(shù)少１，則數(shù)列通項公式是
。
15.如圖，正四面體
中，
是底面上的高，
為
的中點，則與
所成角的余弦值為
。
16,已知點
為
的準(zhǔn)線與
軸的交點,點
為焦點，點
為拋物線上兩個點，若
，則向量
與
的夾角為
。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.(本小題滿分10分)
已知
的內(nèi)角
的對邊分別為
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學(xué)校高三學(xué)生甲參加語文、數(shù)學(xué)、英語三科會考，三科會考合格的概率均為
，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業(yè)證，求學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學(xué)生，則學(xué)生甲被評為三好學(xué)生的概率；
19．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項和為，且
，
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式
；
（Ⅲ）設(shè)
，求數(shù)列
的前項和
。
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐
的底面
為直角梯形，
底面，
∥
，
，
，點
、
分別在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大��；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
已知拋物線
與橢圓
都經(jīng)過點
，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點。
（Ⅰ）求拋物線與橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線
過點
，交拋物線于
兩點，是否存在垂直于軸的直線
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。
22．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，
（Ⅰ）若
，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在點
處的切線斜率為
，若在區(qū)間
上為增函數(shù)，求的取值范圍。
1．解析：
，故選A。
2．解析：抽取回族學(xué)生人數(shù)是
，故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．解析：∵
∥
，∴
，∴
，故選C。
5．解析：設(shè)公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴雙曲線的漸近線方程是
,故選D.
7.解析：∵
、
為正實數(shù)，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數(shù)
在
是增函數(shù)，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區(qū)間
上恒成立，即
在區(qū)間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，∴此函數(shù)的最小正周期是
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區(qū)間
上是增函數(shù)且
，∴其反函數(shù)
在區(qū)間上
是增函數(shù)，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當(dāng)
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當(dāng)
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：將
代入
結(jié)果為
，∴
時，
表示直線
右側(cè)區(qū)域，反之，若表示直線右側(cè)區(qū)域，則
，∴是充分不必要條件。
14.解析：∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
。
15．解析：設(shè)正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補(bǔ)角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準(zhǔn)線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準(zhǔn)線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
�！�10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學(xué)生甲被評為三好學(xué)生的概率為
�！�12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
，
，……………3分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴
，
又
，∴數(shù)列
自第2項起是公比為
的等比數(shù)列，………………………6分
∴
，………………………8分
（Ⅲ）∵
，∴
，………………10分
∴
�！�12分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
�！�4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
�！�8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為在平面內(nèi)的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
�！�12分
解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，
，∴點
的坐標(biāo)分別是
，
，
，∴
，
，設(shè)
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴�！�4分
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
21.解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將
代入方程得
所以拋物線方程為
�！�2分
由題意知橢圓的焦點為
、
。
設(shè)橢圓的方程為
，
∵過點，∴
，解得，
，
，
∴橢圓的方程為
�！�5分
（Ⅱ）設(shè)
的中點為，
的方程為：
，
以為直徑的圓交于
兩點，中點為
。
設(shè)
，則
∵
………………………8分
∴
………………………10分
當(dāng)
時，
，
，
此時，直線的方程為
�！�12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
是偶函數(shù)，∴
，
又∵
∴
，
，………………………2分
由
得，
，
∵
時，
；
時，
；
時，；∴
時，函數(shù)
取得極大值
，
時，函數(shù)取得極小值
。………………………5分
（Ⅱ）∵
在區(qū)間
上為增函數(shù)，∴
在上恒成立，∴
且
在區(qū)間
上恒成立，………………………7分
∴
∴
……………………9分
又∵
=
，∵
∴
，∴
的取值范圍是
。………………………12分
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