2009年廣東省深圳市高三年級第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(文科) 2009.3
本試卷共6頁,21小題,滿分150分?荚囉脮r120分鐘。
注意事項:
1.答卷前,考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損,監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確;之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號,同時,將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū),請保持條形碼整潔、不污損。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上。不按要求填涂的,答案無效。
3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上,請注意每題答題空間,預(yù)先合理安排;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.作答選做題時,請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點,再做答。漏涂、錯涂、多涂的答案無效。
5.考生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后,將答題卡交回。
參考結(jié)論:
橢圓的右準(zhǔn)線方程為.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.如果復(fù)數(shù)的實部與虛部是互為相反數(shù),則的值等于
A. B. C. D.
2.已知兩條不同直線和及平面,則直線的一個充分條件是
A.且 B.且
C.且 D.且
3.在等差數(shù)列中,,表示數(shù)列的前項和,則
A. B. C. D.
4.右圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是
A. B.
C. D.
5.已知點落在角的終邊上,且,則的值為
A. B. C. D.
6.按如下程序框圖,若輸出結(jié)果為,則判斷框內(nèi)應(yīng)補充的條件為
A. B. C. D.
7.若平面向量與的夾角是,且,則的坐標(biāo)為
A.
B.
C.
D.
8.若函數(shù)的大致圖像如右圖,其中為常數(shù),
則函數(shù)的大致圖像是
A. B. C. D.
9.設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和橢圓的右準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部).若點,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為
A. B. C. D.
10.設(shè),又記則
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.本大題分為必做題和選做題兩部分.
(一)必做題:第11、12、13題為必做題,每道試題考生都必須做答
11.某大型超市銷售的乳類商品有四種:純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉,且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有種、種、種、種不同的品牌.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本進行三聚氰胺安全檢測,若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是,則 .
12.已知命題,.若命題是假命題,則實數(shù)的取值范圍是 .
13.在中,若,則外接圓半徑.
運用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為,則其外接球的半徑= .
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計算第一題的得分.
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,過點作圓的切線,則切線的極坐標(biāo)方程是 .
15.(幾何證明選講選做題)如圖,是⊙的直徑,是延長線上的一點,過作⊙的切線,切點為,,若,則⊙的直徑 .
三、解答題:本大題6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)設(shè),求的值域.
17.(本小題滿分12分)
先后隨機投擲2枚正方體骰子,其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù),表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù).
(Ⅰ)求點在直線上的概率;
(Ⅱ)求點滿足的概率.
18.(本小題滿分14分)
如圖,為圓的直徑,點、在圓上,,矩形所在的平面
和圓所在的平面互相垂直,且,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)設(shè)的中點為,求證:平面;
(Ⅲ)設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為,
,求.
19.(本題滿分14分)
已知函數(shù),其中為實數(shù).
(Ⅰ)若在處取得的極值為,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上為減函數(shù),且,求的取值范圍.
20.(本題滿分14分)
如圖,兩條過原點的直線分別與軸、軸成的角,已知線段的長度為,且點在直線上運動,點在直線上運動.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點的直線與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點、,且
為銳角,求直線的斜率的取值范圍.
21.(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項和為,,且對任意正整數(shù),點在直線上.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的
值;若不存在,則說明理由.
(Ⅲ)求證:.
2009年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文科)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
說明:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
B
C
D
D
A
B
C
D
二、填空題:本大題每小題5分;第14、15兩小題中選做一題,如果兩題都做,以第14題的得分為最后得分),滿分20分.
11.. 12.. 13.. 14.. 15. 4.
三、解答題:本大題滿分80分.
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).學(xué)科網(wǎng)
(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)設(shè),求的值域.學(xué)科
網(wǎng)解:(Ⅰ)∵學(xué)科網(wǎng)
學(xué)科 …………………… 3分
…………………… 4分
. …………………… 6分
的最小正周期為. …………………… 7分
(Ⅱ)∵,, …………………… 9分
又,, …………………… 11分
的值域為. …………………… 12分
17.(本小題滿分12分)
先后隨機投擲2枚正方體骰子,其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù),表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù).
(Ⅰ)求點在直線上的概率;
(Ⅱ)求點滿足的概率.
解:(Ⅰ)每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有種情況,
所以基本事件總數(shù)為個. …………………… 2分
記“點在直線上”為事件,有5個基本事件:
, …………………… 5分
…………………… 6分
(Ⅱ)記“點滿足”為事件,則事件有個基本事件:
當(dāng)時,當(dāng)時,; …………………… 7分
當(dāng)時,;當(dāng)時, …………………… 9分
當(dāng)時,;當(dāng)時,. …………………… 11分
…………………… 12分
18.(本小題滿分14分)
如圖,為圓的直徑,點、在圓上,,矩形所在的平面
和圓所在的平面互相垂直,且,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)設(shè)的中點為,求證:平面;
(Ⅲ) 設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為,,求.
(Ⅰ)證明: 平面平面,,
平面平面=,
平面,
平面, ,……… 2分
又為圓的直徑,, …………………… 4分
平面。 …………………… 5分
(Ⅱ)設(shè)的中點為,則,又,
則,為平行四邊形, …………………… 8分
,又平面,平面,
平面。 …………………… 10分
(Ⅲ)過點作于,平面平面,
平面,, …………………… 12分
平面,
,………………… 13分
. …………………… 14分
19.(本小題滿分14分)
已知函數(shù),其中為實數(shù).
(Ⅰ) 若在處取得的極值為,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上為減函數(shù),且,求的取值范圍.
解:(Ⅰ)由題設(shè)可知:
且, ……………… 2分
即,解得 ……………… 5分
(Ⅱ), ……………… 6分
又在上為減函數(shù),
對恒成立, ……………… 7分
即對恒成立.
且, ……………… 11分
即,
的取值范圍是 ……………… 14分
20.(本題滿分14分)
如圖,兩條過原點的直線分別與軸、軸成的角,已知線段的長度為,且點在直線上運動,點在直線上運動.
(Ⅰ) 求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點的直線與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點、,且為銳角,求直線的斜率的取值范圍.
解:(Ⅰ)由已知得直線,:,
:, ……… 2分
在直線上運動,直線上運動,
,, …………………… 3分
由得,
即,, …………………… 5分
動點的軌跡的方程為. …………………… 6分
(Ⅱ)直線方程為,將其代入,
化簡得, ……… 7分
設(shè)、
,,
且, …………………… 9分
為銳角,, …………………… 10分
即,,
.
將代入上式,
化簡得,. …………………… 12分
由且,得. ……………………14分
21.(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項和為,,且對任意正整數(shù),點在直線上.
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,則說明理由.
(Ⅲ)求證: .
解:(Ⅰ)由題意可得:
①
時, ② …………………… 1分
①─②得, …………………… 3分
是首項為,公比為的等比數(shù)列, ……………… 4分
(Ⅱ)解法一: ……………… 5分
若為等差數(shù)列,
則成等差數(shù)列, ……………… 6分
得 ……………… 8分
又時,,顯然成等差數(shù)列,
故存在實數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使成等差數(shù)列,只須即便可. ……………8分
故存在實數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列. ……………… 9分
(Ⅲ) …… 10分
………… 11分
………… 12分
又函數(shù)在上為增函數(shù),
, ………… 13分
,. ……… 14分
命題:胡慶華 王光寧 康 宇 審題:石永生
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