2009屆深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三模擬考試一
數(shù)學(xué)(理科)
參考公式:錐體的體積公式,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合,則滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1. 2.在等比數(shù)列中,已知,那么( )
2. A.4 B.6 C.12 D.16
3. 3.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長(zhǎng)方形,若其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的四分之一,樣本容量為160,則該小長(zhǎng)方形這一組的頻數(shù)為( )
4. A .32 B. C.40 D.
4.若,則大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積是( )
A.27 B.30 C.33 D.36
6.在中,分別為三個(gè)內(nèi)角 所對(duì)應(yīng)的邊,設(shè)向量,,若,則角的大小為( )
A. B. C. D.
7.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線(xiàn)上,其中,則的最小值為( )
A.2
B.
8.若直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn),且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),動(dòng)點(diǎn)P在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿(mǎn)分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計(jì)算前兩題得分.
9.在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)規(guī)范如框圖所示,則能輸出數(shù)對(duì)的概率是 .
10.如果復(fù)數(shù),則的展開(kāi)式(按的升冪排列)的第5項(xiàng)是
。
11、已知,則= 。
12.已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn),且,其中 為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________________。
13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)內(nèi)曲線(xiàn)的中心與點(diǎn)的距離為 .
14.(不等式選講選做題)函數(shù)
15.(幾何證明選講選做題)如圖,DA,CB,DC與以AB為直徑的半圓分別
相切于點(diǎn)A、B、E,且BC:AD=1:2,CD=
則四邊形ABCD的面積等于
三、解答題:本大題共6小題,滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16、(本題滿(mǎn)分12分) 在△ABC中,為三個(gè)內(nèi)角為三條邊, 且 (1)判斷△ABC的形狀; (2)若,求的取值范圍
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖, 在正方體―中,
為的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)求與平面所成角的大小的正弦值.
18.(本小題滿(mǎn)分14分)
一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個(gè)球, 從這只袋中每次取出1個(gè)球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為.
(1)求時(shí) 的概率;(2)求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓M的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦
點(diǎn),又點(diǎn)在橢圓M上。
(I)求橢圓M的方程;
(II)已知直線(xiàn)l的方向向量為與橢圓M交于B、C兩點(diǎn),求△ABC面積的最大值。
20.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù),過(guò)該函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)
(1)證明:圖象上的點(diǎn)總在圖象的上方;
(2)若上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知數(shù)列滿(mǎn)足:,且.求證:
(1)數(shù)列為等比數(shù)列;(2).
(一)
一、選擇題
1~8:CAAD BBBD
二、填空題
9、 10、35 11、 12、
13、 14、10 15、
三、解答題
16、解:(1)由及正弦定理有:
∴或 ……….2分
若,且,
∴,; ……….4分
∴,則,∴三角形. ……….6分
(2)∵ ,∴,
∴,而, ……….8分
∴,∴,∴. ……….12分
17解:(1)取的中點(diǎn)的中點(diǎn)連結(jié)
平面, .
又,
平面.……………………………3分
,四邊形是平行四邊形, 平面
又平面, 平面平面 ………………………………6分
。ǎ玻┻^(guò)作于,連結(jié).
由(1)中的平面平面知面,所以在面上的射影為,所以就是所求的角. …………………………………………9分
令正方體的棱長(zhǎng)為,所以,所以.
即與平面所成角的大小的正弦值為. …………………………12分
18解:(1)表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3.
①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率
②三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率
③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率
∴. ……………………………………………………7分
(2)在時(shí), 利用(1)的原理可知:
,(=1,2,3,4)
1
2
3
4
的概率分布為:
=1×+2×+3×+4× = .………………………………………………7分
19、解:(I)由已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為
故所求橢圓方程為 …………6分
(II)設(shè)直線(xiàn)BC的方程為
代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得 …………9分
又點(diǎn)A到BC的距離為, …………11分
所以△ABC面積的最大值為 …………14分
20解:(1),
設(shè)
為增,
當(dāng)
,
所以圖象上的點(diǎn)總在圖象的上方. …………………………6分
(2)當(dāng).
x
(-∞,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
F‘(x)
-
-
0
+
F(x)
減
減
e
增
①當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)在x=1時(shí)有最小值e,.
②當(dāng)x<0時(shí),F(xiàn)(x)為減函數(shù),
,
.
③當(dāng)x=0時(shí),∈R.
由①②③,恒成立的的范圍是. ……………………………………14分
21解:(1)由得
.
而,所以,
所以數(shù)列為等比數(shù)列. …………………………………………4分
(2)由(1)有. ……………………………………6分
所以,,……,
,累和得
. …8分
因?yàn)?sub>,………………………………………………9分
所以.
記,用錯(cuò)位相減法得
,所以.
所以.
即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)命題成立.……………………………………………………………11分
又,
所以.即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)命題成立.
綜合以上得.………………………………………………13分
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