例1. 的值是_________________。

解：從組合數(shù)定義有：

又  ，代入再求，得出466。

例2. 到橢圓右焦點(diǎn)的距離與到定直線x＝6距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方_______________。

解：據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖知：

軌跡是以（5，0）為頂點(diǎn)，焦參數(shù)P＝2且開口方向向左的拋物線，故其方程為：

（二）直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果。

例3設(shè)其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m =              。

解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。

例4已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是      。

解：，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，∴，∴。

例5現(xiàn)時(shí)盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結(jié)果：勝、平、負(fù)，13長比賽全部猜中的為特等獎(jiǎng)，僅猜中12場為一等獎(jiǎng)，其它不設(shè)獎(jiǎng)，則某人獲得特等獎(jiǎng)的概率為         。

解：由題設(shè)，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結(jié)果的事件為相互獨(dú)立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎(jiǎng)的概率為。

（三）特殊化法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則             。

解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。

例7 過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則           。

分析：此拋物線開口向上，過焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，當(dāng)k變化時(shí)PF、FQ的長均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。

解：設(shè)k = 0，因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

例8  求值         。

分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為。

例9如果函數(shù)f(x)=x²+bx+c對任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系是 

解：  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2。可取特殊函數(shù)f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

 例10已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數(shù)列，則的值是          。

解：  考慮到a₁,a₃,a₉的下標(biāo)成等比數(shù)列，故可令a_n=n滿足題設(shè)條件，于是=。

例11橢圓+=1的焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是               。

解：  設(shè)P(x,y)，則當(dāng)∠F₁PF₂=90°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=±，又當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，∠F₁PF₂=0；點(diǎn)P在y軸上時(shí)，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是-<x<。

（四）數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。

例12   如果不等式的解集為A，且，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是          。

解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

例13  已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是         。

解：可看作是過點(diǎn)P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點(diǎn)P的圓上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時(shí)，斜率最大，最大值為。

（五）等價(jià)轉(zhuǎn)化法

通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。

例14  不等式的解集為（4，b），則a=           ，b=          。

解：設(shè)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。

例15  不論k為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是        。

解：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓，

∴。

例16  函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為             。

解：易知∵y與y²有相同的單調(diào)區(qū)間，而，∴可得結(jié)果為。

    總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。

（六） 淘汰法

當(dāng)全部情況為有限種時(shí)，也可采用淘汰法。

例17. 已知，則與同時(shí)成立的充要條件是____________。

解：按實(shí)數(shù)b的正、負(fù)分類討論。

當(dāng)b>0時(shí)，而等式不可能同時(shí)成立；

當(dāng)b＝0時(shí)，無意義；

當(dāng)b<0時(shí)，若a<0，則兩不等式不可能同時(shí)成立，以上三種情況均被淘汰，故只能為a>0，b<0，容易驗(yàn)證，這確是所要求的充要條件。