Question

如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域及右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向垂直紙面向外和向里．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的左邊緣的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程．要求：
（1）定性畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）帶正電的粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)動(dòng)能定理及向心力公式聯(lián)立方程即可求解軌道半徑；
（2）兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，三段圓弧的圓心組成的三角形△O₁O₂O₃是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2R．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
帶電粒子在電場(chǎng)中加速，qEL=

1

2

mv2
帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，Bqv=m

v2

R

  可得 R=

1

B

2mEL q

．
（2）可見(jiàn)在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖所示，三段圓弧的圓心組成的三角形△O₁O₂O₃是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2R．所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為：d=Rsin60°=

1

2B

6mEL q

   
（3）在電場(chǎng)中 t1=

2v

a

=

2mv

qE

=2

2mL qE

，在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=

T

3

=

2πm

3qB

在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t3=

5T

6

=

5πm

3qB

，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

7πm

3qB

       
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R為

1

B

2mEL q

；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d為

1

2B

6mEL q

；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間為2

2mL qE

+

7πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，靜止的帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．