Question

2．如圖所示，一玩滾軸溜冰的小孩（可視作質(zhì)點）質(zhì)量為m=30kg，他在左側(cè)平臺上滑行一段距離后作平拋運動，恰能無碰撞地由A點進入豎直圓弧軌道（提示：即小孩在A處速度方向恰好沿圓弧軌道切線），并沿軌道下滑，A、B為圓弧兩端點，其連線水平．已知AO部分圓弧光滑，OB部分粗糙，且圓弧半徑為R=1.0m，對應圓心角為θ=106°，平臺與AB連線的高度差為h=0.8m．（計算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小孩作平拋運動的初速度；
（2）小孩運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力；
（3）若小孩運動到圓弧軌道B點時，速度恰好為零，求小孩由O點運動到B點過程中克服摩擦力所做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）小孩作平拋運動，恰能沿圓弧從A點進入圓弧軌道時，小孩在A處速度方向恰好沿圓弧軌道切線方向．根據(jù)豎直高度求出豎直分速度，從而根據(jù)平行四邊形定則求出初速度的大�。�
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出小孩運動到最低點時的速度大小，通過牛頓第二定律求出支持力的大小，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小孩對軌道的壓力．
（3）小孩由O到B的過程，運用動能定理可求得克服摩擦力所做的功W_f．

解答 解：（1）無碰撞地進入豎直圓軌道，說明在A點時的速度方向恰沿圓軌道的切線，即速度方向與水平方向成 $\frac{1}{2}$θ角．
設平拋初速為 υ₀，在A處速度為υ_A，其豎直分量為υ_y，如圖所示．

則 $υ_y^2=2gh$
tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$       
得${υ_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{{tan\frac{θ}{2}}}=\frac{4}{{tan{{53}°}}}=3m/s$（
（2）由題知AO部分圓弧光滑，則從拋出至到達O點的過程中機械能守恒，設O點處速度為υ_m，以O點為零勢能面，則：
  $\frac{1}{2}mυ_0^2+mg[h+R（1-cos\frac{θ}{2}）]=\frac{1}{2}mυ_m^2$
解得 ${υ_m}=\sqrt{33}m/s$
在O點處，設小孩受支持力N，則由牛頓第二定律知：N-mg=$m\frac{υ_m^2}{R}$
由牛頓第三定律知小孩對軌道壓力Nˊ=N，解得 Nˊ=1290N 
（3）由O到B，由動能定理得：$0-\frac{1}{2}mυ_m^2=-mgR（1-cos\frac{θ}{2}）-{W_f}$
解得  W_f=375J
答：
（1）小孩作平拋運動的初速度是3m/s；
（2）小孩運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力是1290N；
（3）小孩由O點運動到B點過程中克服摩擦力所做的功W_f是375J．

點評 本題綜合考查了圓周運動和平拋運動，知道平拋運動的規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．