Question

（2007?海門市模擬）我國(guó)探月工程計(jì)劃在2015年以前通過(guò)無(wú)人駕駛的軌道飛行器，在月球上進(jìn)行采樣工作，以此方式執(zhí)行最初的登月計(jì)劃，并最終實(shí)現(xiàn)中國(guó)人登上月球．假設(shè)2017年7月7日，我國(guó)宇航員乘“嫦娥五號(hào)”飛船到月球上考察．宇航員完成了對(duì)月球表面的科學(xué)考察任務(wù)后，乘坐返回艙返回圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙，如圖所示，為了安全，返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度．已知返回艙與人的總質(zhì)量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，軌道艙到月球中心的距離為r，不計(jì)月球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）返回艙至少需要多大速度才能繞月飛行，不再落回月面？
（2）衛(wèi)星繞月過(guò)程中具有的機(jī)械能由引力勢(shì)能和動(dòng)能組成．已知當(dāng)它們相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)引力勢(shì)能為零，它們距離為r時(shí)，引力勢(shì)能為E_P=-GMm/r．則該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)返回艙受到月球的萬(wàn)有引力恰好提供其向心力時(shí)，它將繞月飛行，不再落回月面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，及萬(wàn)有引力等于重力列式求解；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，求出軌道艙的速度v，得到宇航員乘坐返回艙與軌道艙進(jìn)行對(duì)接時(shí)具有的動(dòng)能為E_K=

1

2

mv²，根據(jù)題中條件引力勢(shì)能為E_P=-G

Mm

r

，返回艙返回過(guò)程中克服引力做的功，再根據(jù)能量守恒求解．

解答：解：（1）月球?qū)Ψ祷嘏摰囊�力F應(yīng)是其運(yùn)動(dòng)所受的向心力．則有
   G

Mm

R2

=m

v2

R

 ①
在月球表面上，返回艙和人所受到的萬(wàn)有引力近似等于重力，則．
 G

Mm

R2

=mg₀．②
可得v=

g0R

故返回艙至少需要

g0R

的速度才能繞月飛行，不再落回月面．
（2）設(shè)軌道艙的質(zhì)量為m₀，速度大小為v，則
 G

Mm0

r2

=m₀

v2

r

，得v=

GM r

則宇航員乘坐返回艙與軌道艙進(jìn)行對(duì)接時(shí)，具有的動(dòng)能為：
E_K=

1

2

mv²=G

Mm

2r

因此返回艙返回過(guò)程中克服引力做的功為
W=-G

Mm

r

-（-G

Mm

R

）=G

Mm

R

-G

Mm

r

由能量守恒可知返回艙返回時(shí)至少需要能量
E=E_K+W=G

Mm

2r

+G

Mm

R

-G

Mm

r

=G

Mm

R

-G

Mm

2r

=mg₀R（1-

R

2r

）
答：
（1）返回艙至少需要有

g0R

的速度才能繞月飛行，不再落回月面．
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mg₀R（1-

R

2r

）能量才能返回軌道艙．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類型的問(wèn)題，在忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，要能根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式．通過(guò)建立模型，理清解題思路，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力建立方程．