Question

【題目】物理中存在“通量”這個物理量，“通量”的定義要用到高等數(shù)學知識．在高中階段，對“通量”的定義采用的是簡單化處理方法并輔以形象化物理模型進行理解．

（1）“磁通量”就是一種常見的“通量”．在高中階段我們是這樣來定義“磁通量”的：設在磁感應強度為的勻強磁場中，有一個與磁場方向垂直的平面，面積為，我們把與的乘積叫做穿過這個面積的磁通量（圖1），簡稱磁通．用字母表示，則．磁通量可以形象地理解為穿過某一面積的磁感線條數(shù)的多少．如圖2所示，空間存在水平向右的勻強磁場，磁感應強度大小為．一個面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為，試求穿過該矩形線圈的磁通量．

（2）“電通量”也是一種常見的“通量”．在定義“電通量”時只需要把“磁通量”中的磁感應強度替換為電場強度即可．請同學們充分運用類比的方法解決以下問題．已知靜電力常量為．

圖3 圖4

a．如圖3所示，空間存在正點電荷，以點電荷為球心作半徑為的球面，試求通過該球面的電通量．

b．上述情況映射的是靜電場中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫侖定律出發(fā)得到嚴格證明．“高斯定理”可表述為：通過靜電場中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內(nèi)所含電荷量與的乘積，即,其中為靜電力常量．試根據(jù)“高斯定理”證明：一個半徑為的均勻帶電球體（或球殼）在外部產(chǎn)生的電場，與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產(chǎn)生的電場相同，球外各點的電場強度也是，式中是球心到該點的距離， 為整個球體所帶的電荷量．

Answer 1

【答案】（1）（2）a． b．

【解析】（1）．

（2）a．根據(jù)點電荷的場強公式，求得球面上各處的電場強度大小為，

由于球面上各處電場強度方向都與球面垂直，故通過球面的電通量為，

，

b．證明：過距離球心距離的點作一球面，根據(jù)對稱性可知該球面上各點場強大小相等，方向處處球面垂直．設該點的電場強度為，通過該球面的電通量為，則

，

由高斯定理知， ，

所以有，

化簡得，這就是球心處的點電荷在處產(chǎn)生的場強，證明完畢．