Question

2．如圖所示，一勁度系數(shù)很大的輕彈簧一端固定在傾角θ=30°的斜面底端，將彈簧壓縮至A點(diǎn)鎖定，然后將一質(zhì)量為m的小物塊緊靠彈簧放置，物塊與斜面問動(dòng)摩擦因數(shù)?=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．解除彈簧鎖定，物塊恰能上滑至B點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的高度差為h_o，已知重力加速度為g．
（1）求彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E_p；
（2）求物塊從A到B的時(shí)間t_l與從B返回到A的時(shí)間t₂之比．

Answer 1

分析 （1）彈簧解鎖的過程中彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，物塊上升的過程中動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能和摩擦力產(chǎn)生內(nèi)能，寫出方程，即可求得彈性勢(shì)能；
（2）分別對(duì)物塊上升的過程和下降的過程進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律寫出加速度的表達(dá)式，結(jié)合它們的位移大小相等，即可求得時(shí)間的比值．

解答 解：（1）物塊受到的摩擦力：f=μmgcosθ
A到B的過程中由功能關(guān)系得：$f（\frac{{h}_{0}}{sinθ}）+mg{h}_{0}={E}_{P}$
代入數(shù)據(jù)解得：${E}_{P}=\frac{3}{2}mg{h}_{0}$
（2）上升的過程中和下降的過程中物塊都是受到重力、支持力和摩擦力的作用，設(shè)上升和下降過程中的加速度分別是a₁和a₂，則：
物塊上升時(shí)摩擦力的方向向下：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
物塊下降時(shí)摩擦力的方向向上：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式推得：$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
答：（1）彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能是$\frac{3}{2}mg{h}_{0}$；
（2）物塊從A到B的時(shí)間t_l與從B返回到A的時(shí)間t₂之比$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 第一問涉及彈簧的彈性勢(shì)能與物塊的動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，以及物塊的動(dòng)能與內(nèi)能、重力勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，要理清它們的關(guān)系．
該題的第二問直接對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，然后使用牛頓第二定律即可，屬于常見題型．