科目: 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三條觀光大道圍成直角三角形,其中直角邊,斜邊.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn).
(1)若甲乙都以每分鐘的速度從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端
時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲乙兩人之間的距離;
(2)設(shè),乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且,請(qǐng)將甲
乙之間的距離表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.
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【題目】如圖,某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD,已知AB=100米,BC=80米,以AD,BC為直徑的兩個(gè)半圓內(nèi)種植花草,其它區(qū)域種值苗木. 現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路,其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行,直路為水泥路面,其工程造價(jià)為每米2a元,弧形路為鵝卵石路面,其工程造價(jià)為每米3a元,修建的總造價(jià)為W元. 設(shè).
(1)求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何修建道路,可使修建的總造價(jià)最少?并求最少總造價(jià).
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【題目】如圖,某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃,其直徑AB為6,O是圓心,且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q,其中∠AQC=,.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P,記∠POB=θ.
(1)當(dāng)θ=時(shí),求∠OPQ的大。
(2)當(dāng)∠OPQ越大時(shí),游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳,求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí),角θ的正弦值.
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【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈,圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖,由正六棱錐和構(gòu)成,兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等,且棱錐底面外接圓的直徑為,底面中心為,通過(guò)連接線及吸盤(pán)固定在天花板上,使棱錐的底面呈水平狀態(tài),下頂點(diǎn)與天花板的距離為,所有的連接線都用特殊的金屬條制成,設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y.
(1)設(shè)∠O1AO =(rad),將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出θ的范圍;
(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ,當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí),金屬條總長(zhǎng)y最小.
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【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑,其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示.圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合,且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點(diǎn)),與左右兩邊相交(,為其中兩個(gè)交點(diǎn)),圖中陰影部分為不透光區(qū)域,其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1,且,設(shè),透光區(qū)域的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)根據(jù)設(shè)計(jì)要求,透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時(shí),求邊的長(zhǎng)度.
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【題目】某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為.
(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
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【題目】如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足),測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng);
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說(shuō)明理由;
(3)對(duì)規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時(shí),P、Q兩點(diǎn)間的距離.
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【題目】某無(wú)縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管,鋼管有內(nèi)外兩個(gè)口徑,甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和,乙種鋼管內(nèi)外兩個(gè)口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)結(jié)果表明,兩種規(guī)格鋼管每根的長(zhǎng)度都服從正態(tài)分布,長(zhǎng)度在之外的鋼管為廢品,要回爐熔化,不準(zhǔn)流入市場(chǎng),其他長(zhǎng)度的鋼管為正品.
(1)在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機(jī)抽取10根進(jìn)行檢測(cè),求至少有1根為廢品的概率;
(2)監(jiān)管部門(mén)規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計(jì)算方式為:若鋼管的內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為,標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為,則“口徑誤差”為,按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn),其中“一級(jí)品”“二級(jí)品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是(正品鋼管中沒(méi)有“口徑誤差”大于的鋼管),現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機(jī)抽取100根,分別進(jìn)行“口徑誤差”的檢測(cè),統(tǒng)計(jì)后,繪制其頻率分布直方圖如圖所示:
甲種鋼管 乙種鋼管
已知經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)甲種鋼管,其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.3,“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.18,“合格品”的利潤(rùn)率為0.1;經(jīng)銷(xiāo)乙種鋼管,其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.25,“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.15,“合格品”的利潤(rùn)率為0.08,若視頻率為概率.
(ⅰ)若經(jīng)銷(xiāo)商對(duì)甲、乙兩種鋼管各進(jìn)了100萬(wàn)元的貨,和分別表示經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤(rùn),求和的數(shù)學(xué)期望和方差,并由此分析經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)兩種鋼管的利弊;
(ⅱ)若經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃對(duì)甲、乙兩種鋼管總共進(jìn)100萬(wàn)元的貨,則分別在甲、乙兩種鋼管上進(jìn)貨多少萬(wàn)元時(shí),可使得所獲利潤(rùn)的方差和最。
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,,.
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