【題目】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為.
(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
【答案】(1)矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為
1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范圍是[,1).
(2)當(dāng)θ=時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大
【解析】分析:(1)先根據(jù)條件求矩形長與寬,三角形的底與高,再根據(jù)矩形面積公式以及三角形面積公式得結(jié)果,最后根據(jù)實際意義確定的取值范圍;(2)根據(jù)條件列函數(shù)關(guān)系式,利用導(dǎo)數(shù)求極值點,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法.
詳解:
解:(1)連結(jié)PO并延長交MN于H,則PH⊥MN,所以OH=10.
過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),
△CDP的面積為×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).
過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線于G和K,則GK=KN=10.
令∠GOK=θ0,則sinθ0=,θ0∈(0,).
當(dāng)θ∈[θ0,)時,才能作出滿足條件的矩形ABCD,
所以sinθ的取值范圍是[,1).
答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為
1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范圍是[,1).
(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,
設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0),
則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).
設(shè)f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),
則.
令,得θ=,
當(dāng)θ∈(θ0,)時,,所以f(θ)為增函數(shù);
當(dāng)θ∈(,)時,,所以f(θ)為減函數(shù),
因此,當(dāng)θ=時,f(θ)取到最大值.
答:當(dāng)θ=時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線上有一動點,過點作直線垂直于軸,動點在上,且滿足(為坐標(biāo)原點),記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知定點,,為曲線上一點,直線交曲線于另一點,且點在線段上,直線交曲線于另一點,求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
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【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中,點.設(shè)點的軌跡為,下列結(jié)論正確的是( )
A. 的方程為
B. 在軸上存在異于的兩定點,使得
C. 當(dāng)三點不共線時,射線是的平分線
D. 在上存在點,使得
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【題目】在中,角,,所對的邊分別為,,,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.是鈍角三角形
C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍D.若,則外接圓半徑為
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況,隨機抽取1200名使用理財產(chǎn)品的市民,按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | 頻數(shù)(單位:名) |
使用“余額寶” | |
使用“財富通” | |
使用“京東小金庫” | 30 |
使用其他理財產(chǎn)品 | 50 |
合計 | 1200 |
已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.
(1)求頻數(shù)分布表中,的值;
(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機選取2人,假設(shè)這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑?/span>,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時,取得極值,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若存在兩個極值點,求的取值范圍,并證明:.
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【題目】某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場購物的顧客中隨機抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:
滿意 | 不滿意 | |
男 | ||
女 |
是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)?
若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券.若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.
附表及公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),則函數(shù)
的零點個數(shù)為( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓 的左焦點為,右頂點為,上頂點為.
(1)已知橢圓的離心率為,線段中點的橫坐標(biāo)為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知△外接圓的圓心在直線上,求橢圓的離心率的值.
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