【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.

(1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面PDO;

(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;

(3)若,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)

【解析】

1)證明AC⊥DO,PO⊥AC,再證明AC⊥平面PDO;(2)當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1,再求三棱錐P-ABC體積的最大值;(3)先證明PB=PC=BC,在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P,使之與平面ABP共面,當(dāng)O,E,C′共線時(shí),CE+OE取得最小值.再求其最小值.

(1)證明:在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DO.

又PO垂直于圓O所在的平面,所以PO⊥AC.

因?yàn)镈O∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.

(2)解:因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.

又AB=2,所以△ABC面積的最大值為.

又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,

故三棱錐P-ABC體積的最大值為.

(3)解:

在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,

所以.

同理,所以PB=PC=BC.

在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P,使之與平面ABP共面,如圖所示.

當(dāng)O,E,C′共線時(shí),CE+OE取得最小值.

又因?yàn)镺P=OB,,所以垂直平分PB,即E為PB的中點(diǎn).

從而

即CE+OE的最小值為.

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