【題目】如圖所示,四棱錐中,平面平面,△ABC為等腰三角形,的中點,的中點,且

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)若,求三棱錐的體積.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)連結(jié)PF,先證明DC⊥平面ABC,再證明AFPE是平行四邊形,得到EP⊥平面BCD

(Ⅱ)先得到EP是三棱錐E﹣BDF的高,再計算EP=,代入面積公式計算得到答案.

(I)由題意知△ABC為等腰直角三角形,

而F為BC的中點,所以AF⊥BC.

又因為平面AEDC⊥平面ABC,且∠ACD=90°,

所以DC⊥平面ABC.

而AF平面ABC,所以AF⊥DC.

而BC∩DC=C,所以AF⊥平面BCD.

連結(jié)PF,則PF∥DC,PF=DC,

而AE∥DC,AE=DC,所以AE∥PF,AE=PF,

AFPE是平行四邊形,

因此EP∥AF,故EP⊥平面BCD.

(II)因為EP⊥平面BCD,所以EP⊥平面BDF,EP是三棱錐E﹣BDF的高.

所以EP=AF=BC==

故三棱錐E﹣BDF的體積為:

V=

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