Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（2）若成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求，令

通過對(duì)的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結(jié)果這一特殊性，通過對(duì)參數(shù)的討論確定的取值范圍.

試題解析：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

令，

（1）當(dāng)時(shí)， ， 在上恒成立

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；

（2）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)， ，

所以， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；

②當(dāng)時(shí)，

設(shè)方程的兩根為

因?yàn)?/span>

所以，

由可得：

所以，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（3）當(dāng)時(shí)，

由可得：

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

因此函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>

所以， 時(shí)， ，符合題意；

（2）當(dāng)時(shí)，由，得

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以， 時(shí)， ，符合題意；

（3）當(dāng)時(shí)，由，可得

所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

又

所以，當(dāng)時(shí)， 不符合題意；

（4）當(dāng)時(shí)，設(shè)

因?yàn)?/span>時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)時(shí)，

即：

可得：

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)， 不合題意.

綜上所述， 的取值范圍是