【題目】(本小題滿分12分)
已知函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,求證:不等式: .
【答案】(1)略(2) (3)略
【解析】試題分析:對函數(shù)求導,討論,確定單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性;作差構造新函數(shù),利用導數(shù)
判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)不等式恒成立條件,求出的范圍;借助第二步的結論,證明不等式.
試題解析:
(Ⅰ) ,
當時,增區(qū)間,無減區(qū)間
當時,增區(qū)間,減區(qū)間
(Ⅱ)
即在上恒成立
設,考慮到
,在上為增函數(shù)
, 當時,
在上為增函數(shù), 恒成立
當時, , 在上為增函數(shù)
,在上, , 遞減,
,這時不合題意,
綜上所述,
(Ⅲ)要證明在上,
只需證明
由(Ⅱ)當a=0時,在上, 恒成立
再令
在上, , 遞增,所以
即,相加,得
所以原不等式成立.
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【題目】設S,T是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(i)T={f(x)|x∈S};(ii)對任意x1 , x2∈S,當x1<x2時,恒有f(x1)<f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構”,以下集合對不是“保序同構”的是( )
A.A=N* , B=N
B.A={x|﹣1≤x≤3},B={x|x=﹣8或0<x≤10}
C.A={x|0<x<1},B=R
D.A=Z,B=Q
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【題目】已知某品牌手機公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元.設公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完,每萬部的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)= .
(1)寫出年利潤f(x)(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時,公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】(本小題滿分12分)設函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當函數(shù)有最大值且最大值大于時,求的取值范圍.
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【題目】某同學從區(qū)間[﹣1,1]隨機抽取2n個數(shù)x1 , x2 , …,xn , y1 , y2 , …,yn , 構成n個數(shù)對(x1 , y1),(x2 , y2),…(xn , yn),該同學用隨機模擬的方法估計n個數(shù)對中兩數(shù)的平方和小于1(即落在以原點為圓心,1為半徑的圓內(nèi))的個數(shù),則滿足上述條件的數(shù)對約有個.
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【題目】(本小題滿分12分)
已知四棱柱的底面是邊長為的菱形,且, 平面, ,設為的中點。
(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)點在線段上,且平面,
求平面和平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=4 cosθ.
(1)求C1與C2交點的直角坐標;
(2)已知曲線C3的參數(shù)方程為 (0≤α<π,t為參數(shù),且t≠0),C3與C1相交于點P,C2與C3相交于點Q,且|PQ|=8,求α的值.
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【題目】已知數(shù)列 的各項均為正整數(shù),對于任意n∈N* , 都有 成立,且 .
(1)求 , 的值;
(2)猜想數(shù)列 的通項公式,并給出證明.
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