已知函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為4x-y+1=0,則求t的值
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)有三個不同的極值點,求t的值;
(Ⅲ)若存在實數(shù)t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整數(shù)m的最大值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,令f′(0)=4,即可得到t;
(Ⅱ)求出導(dǎo)數(shù),令g(x)=x3-3x2-9x+3+t,則方程g(x)=0有三個不同的根,求出g(x)的導(dǎo)數(shù),求得g(x)的極值,令極小值小于0,極大值大于0,解不等式即可得到t的范圍;
(Ⅲ)先將存在實數(shù)t∈[0,2],使不等式f(x)≤x恒成立轉(zhuǎn)化為將t看成自變量,f(x)的最小值)≤x;再構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值,求出m的范圍.
解答: 解:(Ⅰ) 函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,
則f′(x)=(x3-3x2-9x+3+t)ex,
函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為f′(0)=3+t,
由題意可得,3+t=4,解得,t=1;      
                                       
(Ⅱ) f′(x)=(x3-3x2-9x+3+t)ex
令g(x)=x3-3x2-9x+3+t,則方程g(x)=0有三個不同的根,
又g′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)
令g′(x)=0得x=-1或3 
且g(x)在區(qū)間(-∞,-1),(3,+∞)遞增,在區(qū)間(-1,3)遞減,
故問題等價于
g(-1)>0
g(3)<0
即有
t+8>0
t-24<0
,解得,-8<t<24;        
                 
(Ⅲ)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)t∈[0,2],使對任意的x∈[1,m],
不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立.
設(shè)φ(x)=e-x-x2+6x-3,則φ'(x)=-e-x-2x+6.
設(shè)r(x)=φ'(x)=-e-x-2x+6,則r'(x)=e-x-2,因為1≤x≤m,有r'(x)<0.
故r(x)在區(qū)間[1,m]上是減函數(shù).
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ'(x0)=0.
當(dāng)1≤x<x0時,有φ'(x)>0,當(dāng)x>x0時,有φ'(x)<0.
從而y=φ(x)在區(qū)間[1,x0]上遞增,在區(qū)間[x0,+∞)上遞減.
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,
φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0.
所以當(dāng)1≤x≤5時,恒有φ(x)>0;
當(dāng)x≥6時,恒有φ(x)<0;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、函數(shù)的極值、極值點是導(dǎo)函數(shù)的根、解決不等式恒成立常用的方法是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
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