Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右焦點F且斜率為l的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點，O為坐標原點．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）求證：對于橢圓C上的任意一點M，都存在θ∈[0，2π），使得

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓的焦距為2c，由

c

a

=

6

3

，可得a²=3b²．從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²．右焦點F（

2

b，0），直線AB所在的直線方程為：y=x-

2

b．與橢圓方程聯立化為4x2-6

2

bx+3b2=0．（*）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x₀，y₀），利用中點坐標公式與斜率計算公式即可得出．
（2）利用平面向量基本定理、根與系數的關系、點與橢圓的位置關系即可得出．

解答： 解：（1）設橢圓的焦距為2c，
∵

c

a

=

6

3

，
∴

a2-b2

a2

=

2

3

，
化為a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²．
右焦點F（

2

b，0），直線AB所在的直線方程為：y=x-

2

b．
聯立

y=x- 2 b x2+3y2=3b2

，化為4x2-6

2

bx+3b2=0．（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x₀，y₀），
∴x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
∴k_ON=

y0

x0

=-

1

3

，即為所求．
（2）顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，
使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．設M（x，y），由（1）中各點的坐標有：
（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又∵點M在橢圓C上，
∴有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b²整理可得：
λ2(

x

2 1

+3

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+3

y

2 2

)+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．（**）
由（*）有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1x2=

3b2

4

．
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x₁x₂-3

2

b(x1+x2)+6b²，
又點A，B在橢圓C上，
∴

x

2 1

+3

y

2 1

=

x

2 2

+3

y

2 2

=3b²．
代入（**）可得：λ²+μ²=1．
∴對于橢圓上的每一個點M，總存在一對實數，使等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．且λ²+μ²=1．
∴存在θ∈[0，2π]，使得λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：對于橢圓C上任意一點M，總存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

點評：本題考查了橢圓及圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、中點坐標公式與斜率計算公式、平面向量基本定理、點與橢圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．