【題目】某單位為促進職工業(yè)務技能提升,對該單位120名職工進行一次業(yè)務技能測試,測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機抽取了10名職工的測試結果,將它們編號后得到它們的統(tǒng)計結果如下表(表1)所示(“√”表示測試合格,“×”表示測試不合格).

表1:

編號\測試項目

1

2

3

4

5

1

×

2

×

3

×

4

×

×

5

6

×

×

×

7

×

×

8

×

×

×

×

9

×

×

×

10

×

規(guī)定:每項測試合格得5分,不合格得0分.

(1)以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.

①設抽取的這10名職工中,每名職工測試合格的項數(shù)為,根據(jù)上面的測試結果統(tǒng)計表,列出的分布列,并估計這120名職工的平均得分;

②假設各名職工的各項測試結果相互獨立,某科室有5名職工,求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率;

(2)已知在測試中,測試難度的計算公式為,其中為第項測試難度,為第項合格的人數(shù),為參加測試的總人數(shù).已知抽取的這10名職工每項測試合格人數(shù)及相應的實測難度如下表(表2):

表2:

測試項目

1

2

3

4

5

實測合格人數(shù)

8

8

7

7

2

定義統(tǒng)計量,其中為第項的實測難度,為第項的預測難度().規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預測合理,否則為不合理,測試前,預估了每個預測項目的難度,如下表(表3)所示:

表3:

測試項目

1

2

3

4

5

預測前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

判斷本次測試的難度預估是否合理.

【答案】(1)①分布列見解析,平均得分為;②;(2)合理.

【解析】

(1)可取,由表格中數(shù)據(jù),利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率,從而可得分布列,進而利用期望公式可得的數(shù)學期望的值可得平均分;②由①知,由互斥事件的概率公式以及獨立事件的概率公式可得結果;(2)直接利用方差公式求出方差,與比較大小即可得結果.

(1)①根據(jù)上面的測試結果統(tǒng)計表,得的分布列為:

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.2

0.4

0.1

所以的數(shù)學期望.

所以估計這12名職工的平均得分為.

②“得分不小于20分”即“”,

由①知.

設該科室5名職工中得分不小于20分的人數(shù)為,則.

所以

即這5名職工中至少有4人得分不小于20分的概率為.

(2)由題意知

該次測試的難度預估是合理的.

練習冊系列答案
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