【題目】如圖,四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析.
(2) .
【解析】分析:(1)首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系,即BF⊥PF,BF⊥EF,又因?yàn)?/span>,利用線面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF,又平面ABFD,利用面面垂直的判定定理證得平面PEF⊥平面ABFD.
(2)結(jié)合題意,建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系,正確寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面ABFD的法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成角為,利用線面角的定義,可以求得,得到結(jié)果.
詳解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又,所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足為H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>y軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得.
則 為平面ABFD的法向量.
設(shè)DP與平面ABFD所成角為,則.
所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+﹣1,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時(shí),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為,求a的值;
(2)討論函數(shù)g(x)=f′(x)﹣零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形中,,于點(diǎn),將沿折起到的位置,使,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)判斷在線段上是否存在一點(diǎn),使平面平面?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知數(shù)列,首項(xiàng),設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)的和為,且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)在第(2)小題的條件下,令,是數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是常數(shù)且.
(1)若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的值;
(2)若(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),試證明:①函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),②函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)滿足.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在上海高考改革方案中,要求每位高中生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門(mén)學(xué)科(3門(mén)理科,3門(mén)文科)中選擇3門(mén)學(xué)科參加等級(jí)考試,小李同學(xué)受理想中的大學(xué)專業(yè)所限,決定至少選擇一門(mén)理科學(xué)科,那么小李同學(xué)的選科方案有________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將個(gè)不同的紅球和個(gè)不同的白球,放入同一個(gè)袋中,現(xiàn)從中取出個(gè)球.
(1)若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù),則有多少種不同的取法;
(2)取出一個(gè)紅球記分,取出一個(gè)白球記分,若取出個(gè)球的總分不少于分,則有多少種不同的取法;
(3)若將取出的個(gè)球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個(gè)球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升,對(duì)該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測(cè)試,測(cè)試項(xiàng)目共5項(xiàng).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測(cè)試結(jié)果,將它們編號(hào)后得到它們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表1)所示(“√”表示測(cè)試合格,“×”表示測(cè)試不合格).
表1:
編號(hào)\測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規(guī)定:每項(xiàng)測(cè)試合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的這10名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的頻率代替每名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的概率.
①設(shè)抽取的這10名職工中,每名職工測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)為,根據(jù)上面的測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表,列出的分布列,并估計(jì)這120名職工的平均得分;
②假設(shè)各名職工的各項(xiàng)測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立,某科室有5名職工,求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在測(cè)試中,測(cè)試難度的計(jì)算公式為,其中為第項(xiàng)測(cè)試難度,為第項(xiàng)合格的人數(shù),為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項(xiàng)測(cè)試合格人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表(表2):
表2:
測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測(cè)合格人數(shù) | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第項(xiàng)的實(shí)測(cè)難度,為第項(xiàng)的預(yù)測(cè)難度().規(guī)定:若,則稱該次測(cè)試的難度預(yù)測(cè)合理,否則為不合理,測(cè)試前,預(yù)估了每個(gè)預(yù)測(cè)項(xiàng)目的難度,如下表(表3)所示:
表3:
測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預(yù)測(cè)前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.
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