【題目】已知函數(shù)f(x)=xexxax2.

(1)當(dāng)a時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減;

(2)(-∞,1]

【解析】

(1)當(dāng)a=時,函數(shù)f(x)=x(ex-1)-x2,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)由函數(shù)f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的取值范圍,即可求解.

(1)當(dāng)a=時,函數(shù)f(x)=x(ex-1)-x2

則f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1),

令f′(x)=0,則x=-1或0,

當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0;

當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)<0;

當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減.

(2)由題意,函數(shù)f(x)=x(ex-1-ax),

令g(x)=ex-1-ax,則g′(x)=ex-a,

若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),

而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時,g(x)≥0,即f(x)≥0,

若a>1,則當(dāng)x∈(0,ln a)時,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,

從而當(dāng)x∈(0,ln a)時,g(x)<0,即f(x)<0,不符合題意,

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1]

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了了解學(xué)生對電子競技的興趣,從該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行檢查,已知這人中有名男生對電子競技有興趣,而對電子競技沒興趣的學(xué)生人數(shù)與電子競技競技有興趣的女生人數(shù)一樣多,且女生中有的人對電子競技有興趣.

在被抽取的女生中與名高二班的學(xué)生,其中有名女生對電子產(chǎn)品競技有興趣,先從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人,求其中至少有人對電子競技有興趣的概率;

完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“電子競技的興趣與性別有關(guān)”.

有興趣

沒興趣

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

參考數(shù)據(jù):

參考公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=1, AB1A1B相交于點(diǎn)D,MB1C1的中點(diǎn) .

1)求證:CD⊥平面BDM

2)求平面B1BD與平面CBD所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校高三的某次數(shù)學(xué)測試中,對其中100名學(xué)生的成績進(jìn)行分析,按成績分組,得到的頻率分布表如下:

組號

分組

頻數(shù)

頻率

1

[90,100

15

2

[100,110

0.35

3

[110120

20

0.20

4

[120,130

20

0.20

5

[130,140

10

0.10

合計(jì)

100

1.00

1)求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù);

2)為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生參加即將舉行的數(shù)學(xué)競賽,學(xué)校決定在成績較高的第3、4、5組中分層抽樣取5名學(xué)生,則第4、5組每組各抽取多少名學(xué)生?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形, ,

,點(diǎn)在線段上,且 , 平面.

1)求證:平面平面;

2)當(dāng)四棱錐的體積最大時,求四棱錐的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義區(qū)間,,的長度均為,多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和,例如, 的長度. 用表示不超過的最大整數(shù),記,其中.設(shè),,當(dāng)時,不等式解集區(qū)間的長度為,則的值為

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;如圖,四邊形,,,的內(nèi)角的對邊,

且滿足.

)證明:;

)若,設(shè),

,求四邊形面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與圓Cx2+y28x+120相交于不同的兩點(diǎn)A,B

1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡M的方程.

2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線l1ykx5)與曲線M有且僅有一個交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證:PABD;

(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;

(3)當(dāng)PA∥平面BDE時,求三棱錐E﹣BCD的體積.

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