Question

【題目】已知過坐標原點的直線l與圓C：x2+y2﹣8x+12＝0相交于不同的兩點A，B．

（1）求線段AB的中點P的軌跡M的方程．

（2）是否存在實數(shù)k，使得直線l1：y＝k（x﹣5）與曲線M有且僅有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．（2）存在，k∈[，]∪{，}

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理，CP⊥AB，即可求出P的軌跡的軌跡方程，但中點P在圓內(nèi)，所以要確定P點軌跡方程在圓C范圍內(nèi)；

（2）由（1）得P的軌跡是一段弧，先直線l1與弧相切，用圓心到直線直線的距離等于半徑求出k，然后考慮圓弧端點與（5,0）連線的斜率的范圍，即得結論.

（1）設直線l的方程為y＝mx，

設P（x，y），圓C：x2+y2﹣8x+12＝0，

即為（x﹣4）2+y2＝4，則圓心為（4，0），半徑為2，

∵點P為弦AB中點即CP⊥AB，

∴（x﹣4，y），（x，y），

∴x（x﹣4）+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，

當直線l與圓C相切時，圓心到直線l的距離為

2，解得m＝±，此時切點的橫坐標為3，

當直線l過過圓心時，點P與圓心重合，此時點P的橫坐標為x＝4，

故線段AB的中點P的軌跡方程為（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

（2）由（1）知點M的軌跡是以為（2，0）圓心，2為半徑的一段弧，

當直線l1與曲線M相切時，由2，解得k＝±，

此時l1與曲線M的交點的橫坐標為，故k＝±符合，

當直線l1與曲線交點的橫坐標為3時，則交點的縱坐標為±，

此時直線l1的斜率為k＝±，

∵線段AB的中點P的軌跡方程為（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

∴要使直線直線l1：y＝k（x﹣5）與曲線M有且僅有一個交點，

只需要k，

綜上所述當k∈[，]∪{，}時，

直線L：y＝k（x﹣5）與曲線M只有一個交點．