【題目】設n∈N* , f(n)=3n+7n﹣2.
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)證明:對任意正整數(shù)n,f(n)是8的倍數(shù).
【答案】
(1)解:∵n∈N*,f(n)=3n+7n﹣2,
∴f(1)=3+7﹣2=8,
f(2)=32+72﹣2=56,
f(3)=33+73﹣2=368
(2)證明:用數(shù)學歸納法證明如下:
①當n=1時,f(1)=3+7﹣2=8,成立;
②假設當n=k時成立,即f(k)=3k+7k﹣2能被8整除,
則當n=k+1時,
f(k+1)=3k+1+7k+1﹣2
=3×3k+7×7k﹣2
=3(3k+7k﹣2)+4×7k+4
=3(3k+7k﹣2)+4(7k+1),
∵3k+7k﹣2能被8整除,7k+1是偶數(shù),
∴3(3k+7k﹣2)+4(7k+1)一定能被8整除,
即n=k+1時也成立.
由①②得:對任意正整數(shù)n,f(n)是8的倍數(shù)
【解析】(1)由n∈N* , f(n)=3n+7n﹣2,分別取n=1,2,3,能求出f(1),f(2),f(3)的值.(2)利用用數(shù)學歸納法能證明對任意正整數(shù)n,f(n)是8的倍數(shù).
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的值的相關知識,掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個通項公式為( )
A.an=2n-1
B.an=(-1)n(1-2n)
C.an=(-1)n(2n-1)
D.an=(-1)n(2n+1)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】比較a,b,c的大小,其中a=0.22 , b=20.2 , c=log0.22( )
A.b>c>a
B.c>a>b
C.a>b>c
D.b>a>c
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【題目】已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則(UA)∩(UB)=( )
A.{5,8}
B.{7,9}
C.{0,1,3}
D.{2,4,6}
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【題目】定義區(qū)間(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的長度均為d=b﹣a,多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的長度d=(2﹣1)+(5﹣3)=3.用[x]表示不超過x的最大整數(shù),記{x}=x﹣[x],其中x∈R.設f(x)=[x]{x},g(x)=x﹣1,當0≤x≤k時,不等式f(x)<g(x)解集區(qū)間的長度為5,則k的值為 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)=g(x)+x2 , 且當x≥0時,g(x)=log2(x+1),則g(﹣1)=
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【題目】根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9+7=( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
……
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
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