Question

【題目】定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b﹣a，多個(gè)區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x﹣[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，當(dāng)0≤x≤k時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度為5，則k的值為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2 ， g（x）=x﹣1，
f（x）＜g（x）[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，
∴x∈；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，
∴x∈；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，[x]﹣1＞0，上式可化為x＜[x]+1=3，
∴當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度為d=3﹣2=1；
同理可得，當(dāng)x∈[3，4）時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度為d=4﹣2=2；
∵不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度為5，
∴k﹣2=5，
∴k=7．
所以答案是：7．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用區(qū)間與無窮的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握區(qū)間的概念：（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．