【題目】已知棱長為1的正方體,點是四邊形內(nèi)(含邊界)任意一點, 是中點,有下列四個結(jié)論:
①;②當點為中點時,二面角的余弦值;③與所成角的正切值為;④當時,點的軌跡長為.
其中所有正確的結(jié)論序號是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
【答案】B
【解析】
①利用線面平行,得到線線平行。②要求二面角的余弦值,轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角余弦值。③要求線線角,將其平移至一個三角形中,即可求解。④證明平面,則即為點的運動路徑,通過計算即可求解。
解:如圖所示,
①根據(jù)正方體的幾何性質(zhì),易得平面,又因為平面, 故,即,故①對。
②當點為中點時,,且,所以二面角的平面角為,連接,又,故所求二面角的余弦值為 .故②錯。
③因為,所以與所成角即為與所成角,即為,連接,在等腰三角形中,為底邊中點,所以 ,所以與所成角的正切值為.故③對。
④點為 中點,所以,又因為 所以平面, 即點在線段上運動時,,所以點的軌跡長為,故④對。
故選.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,N為CD的中點,M是AC上一點.
(1)若M為AC的中點,求證:AD//平面BMN;
(2)若,平面平面BCD,,求直線AC與平面BMN所成的角的余弦值。
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)求、;
(2)設(shè)曲線與軸負半軸的交點為點,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任意的實數(shù),都有;
(3)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根,,且,證明:.
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【題目】2019年是新中國成立七十周年,新中國成立以來,我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展,尤其是黨的十八大以來,文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)(個)與對應年份編號的散點圖(為便于計算,將 2013 年編號為 1,2014 年編號為 2,…,2018年編號為 6,把每年的公共圖書館業(yè)機構(gòu)個數(shù)作為因變量,把年份編號從 1 到 6 作為自變量進行回歸分析),得到回歸直線,其相關(guān)指數(shù),給出下列結(jié)論,其中正確的個數(shù)是( )
①公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強
②公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個
③可預測 2019 年公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)約為3192個
A.0B.1C.2D.3
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【題目】已知點A,B是拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點,點E是拋物線C的準線與x軸的交點.
(1)若是面積為4的直角三角形,求拋物線C的方程;
(2)若直線BE與拋物線C交于另一點D,證明:直線AD過定點.
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【題目】完成下列抽樣調(diào)查,較為合理的抽樣方法依次是( )
①從件產(chǎn)品中抽取件進行檢查;
②某校高中三個年級共有人,其中高一人、高二人、高三人,為了了解學生對數(shù)學的建議,擬抽取一個容量為的樣本;
③某劇場有排,每排有個座位,在一次報告中恰好坐滿了聽眾,報告結(jié)束后,為了了解聽眾意見,需要請名聽眾進行座談.
A.簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣,分層抽樣;B.分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,簡單隨機抽樣;
C.系統(tǒng)抽樣,簡單隨機抽樣,分層抽樣;D.簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(Ⅰ)若,證明函數(shù)有唯一的極小值點;
(Ⅱ)設(shè)且,記函數(shù)的最大值為M,求使得的a的最小值.
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