【題目】如圖所示的幾何體中,正方形與梯形所在的平面互相垂直,, ,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)取AB中點M,連結(jié)MF,MC,可證四邊形MCEF為平行四邊形,得EC∥MF,進而得證;
(2)由題干面面垂直的性質(zhì)可得,平面ADEF∩平面ABCD=AD,又AF⊥AD,可證AF⊥平面ABCD,進而得證;
(3)以A為原點,AB,AD,AF所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,求出對應的點坐標,表示出向量,分別求出平面ABF和平面BCF的法向量,結(jié)合向量夾角公式即可求解
(1)取AB中點M,連結(jié)MF,MC,∵MACD,且MACD,∴四邊形MCEF為平行四邊形,∴EC∥MF,∵EC平面ABF,MF平面ABF,∴EC∥平面ABF.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD, AF⊥AD,AF平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD,又∵AF平面FAC,∴平面FAC⊥平面ABCD.
(3)以A為原點,AB,AD,AF所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則B(4,0,0),F(0,0,2),C(2,2,0),(﹣2,2,0),(﹣4,2,0),平面ABF的一個法向量(0,1,0),設平面BCF的法向量(x,y,z),則,取x=1,得(1,1,2),設二面角A﹣BF﹣C的平面角為θ,則cosθ.∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知棱長為1的正方體,點是四邊形內(nèi)(含邊界)任意一點, 是中點,有下列四個結(jié)論:
①;②當點為中點時,二面角的余弦值;③與所成角的正切值為;④當時,點的軌跡長為.
其中所有正確的結(jié)論序號是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【題目】某調(diào)研機構(gòu),對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,結(jié)果顯示,有人為“低碳族”,該人的年齡情況對應的頻率分布直方圖如圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名“低碳族”年齡的平均值,中位數(shù);
(2)若在“低碳族”且年齡在、的兩組人群中,用分層抽樣的方法抽取人,試估算每個年齡段應各抽取多少人?
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【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機”弘揚傳統(tǒng)文化,某市對全市一定年齡的市民進行了漢字聽寫測試.為了調(diào)查被測試市民的基本情況,組織方從參加測試的市民中隨機抽取120名市民,按他們的年齡分組:第一組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪,求被采訪人恰好在第1組或第4組的概率;
(2)已知第1組市民中男性有3名,組織方要從第1組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性群眾的概率.
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【題目】已知函數(shù)和圖象的對稱軸完全相同,若,則y=g(x)的值域是( )
A. [-1,2] B. [-1,3] C. [,0,2] D. [0,,3]
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【題目】為建立健全國家學生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機制,激勵學生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國家學生體質(zhì)健康標準(2014年修訂)》,要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作,某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試(健康指數(shù)滿分100分),并從中隨機抽取了200名學生的數(shù)據(jù),根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這200名學生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)由頻率分布直方圖知,該市學生的健康指數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
①求;
②已知該市高三學生約有10000名,記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間的人數(shù)為,試求.
附:參考數(shù)據(jù),
若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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【題目】已知橢圓:過點,且橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)斜率為的直線交橢圓于,兩點,且.若直線上存在點P,使得是以為頂角的等腰直角三角形,求直線的方程.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,,,若為的中點.
(1)證明:平面;
(2)求異面直線和所成角;
(3)設線段上有一點,當與平面所成角的正弦值為時,求的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸為極軸的極坐標系中,圓的方程.
(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;
(2)若點的直角坐標為,圓與直線交于兩點,求弦中點的直角坐標和的值.
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