已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點． 過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形的面積的取值范圍．
（1）；（2）

試題分析：（1）由離心率為可知，所以，再將點P的坐標代入橢圓方程得，故所求橢圓方程為 ；
（2）與垂直，可分為兩種情況討論：一是當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0；二是若與的斜率都存在；
當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為；
若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，
設，，聯(lián)立，消去整理得，
（1），，
，
（2），注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，
得 ，
，利用換元法，再利用對構函數(shù)可以求出最值，令，， ，綜上可知，四邊形面積的.
試題解析：（1）由，所以，         2分
將點P的坐標代入橢圓方程得，                            4分
故所求橢圓方程為                                   5分
（2）當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，
此時四邊形的面積為，                         7分
若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，
設，，聯(lián)立，
消去整理得，  （1）
，，                8分
，（2）       9分
注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，
得 ，      10分
，令，
， ，綜上可知，四邊形面積的.            13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|，當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為45°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF2垂直于x軸，則橢圓的離心率為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若F1，F(xiàn)2是雙曲線與橢圓的共同的左、右焦點，點P是兩曲線的一個交點，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是          。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓＝1的左、右焦點分別為F1，F2，M是橢圓上一點，N是MF1的中點，若|ON|＝1，則|MF1|等于(　　)．
A．2B．4C．6D．5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓：（）和橢圓：（）的離心率相同，且.給出如下三個結論：
①橢圓和橢圓一定沒有公共點；   ②；      ③
其中所有正確結論的序號是________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓方程為＝1(a>b>0)，它的一個頂點為M(0，1)，離心率e＝，則橢圓的方程為(　　)．
A．＝1B．＝1C．＋y2＝1D．＋y2＝1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的方程為，是它的一條傾斜角為的弦，且是弦的中點，則橢圓的離心率為_________.

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