【題目】如圖,在直四棱柱中,底面是邊長為2的正方形, 分別為線段, 的中點.
(1)求證: ||平面;
(2)四棱柱的外接球的表面積為,求異面直線與所成的角的大小.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)連接BD1,由中位線定理證明EF∥D1B,由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC1D1;
(2)由(1)和異面直線所成角的定義,得異面直線EF與BC所成的角是∠D1BC,由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑,由勾股定理求出側棱AA1的長,由直四棱柱的結構特征和線面垂直的定義,判斷出BC⊥CD1,在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC,求出∠D1BC可得答案.
試題解析:
(1)連接,在中, 分別為線段的中點,∴為中位線,
∴,而面, 面,∴平面.
(2)由(1)知,故即為異面直線與所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面積為,
∴四棱柱的外接球的半徑,
設,則,解得,
在直四棱柱中,∵平面, 平面,
∴,在中, ,
∴,
∴異面直線與所成的角為.
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【題目】已知兩個定點,動點滿足.設動點的軌跡為曲線,直線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線交于不同的兩點,且(為坐標原點),求直線的斜率;
(3)若是直線上的動點,過作曲線的兩條切線,切點為,探究:直線是否過定點.
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【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分別是A1B,B1C1的中點.
(1)求證:MN⊥平面A1BC;
(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大。
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【題目】設函數的定義域為,值域為,如果存在函數,使得函數的值域仍是,那么稱是函數的一個等值域變換.
(1)判斷下列函數是不是函數的一個等值域變換?說明你的理由;
①;
②.
(2)設的定義域為,已知是的一個等值域變換,且函數的定義域為,求實數的值.
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【題目】某電臺在因特網上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調查,參加調查的總人數為12000人,其中持各種態(tài)度的人數如下表:
很喜愛 | 喜愛 | 一般 | 不喜愛 |
2435 | 4567 | 3926 | 1072 |
電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見,打算從中抽取60人進行更為詳細的調查,應當怎樣進行抽樣?
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【題目】已知函數f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調性,求b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.
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