Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個(gè)等值域變換.

（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個(gè)等值域變換？說明你的理由；

①；

②.

（2）設(shè)的定義域?yàn)?/span>，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域變換，②是等值域變換； （2）.

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式，結(jié)合新定義即可判斷①；運(yùn)用二次函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的值域，結(jié)合新定義即可判斷②；
（2）利用f（x）的定義域，求得值域，根據(jù)x的表達(dá)式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使兩個(gè)等號分別成立，求得m和n．

試題解析：

（1）①，x>0，值域?yàn)?/span>R，

,t>0,由g(t)2可得y=f[g(t)]的值域?yàn)閇1,+∞).

則x=g(t)不是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換；

②，即的值域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，即的值域仍為，所以是的一個(gè)等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；

（2）定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， 的值域?yàn)?/span>，

，

恒有，解得.