Question

【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求動點A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動點,△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點P在軌跡M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值.

Answer 1

【答案】(1)=1(y≠0)；(2).

【解析】試題分析：

（1）分析題意可得動點A的軌跡是以B,C為焦點，長軸長為4的橢圓，然后求出后可得橢圓的方程．（2）設(shè)P(x0,y0)，可求得線段PB的垂直平分線方程，然后與線段BC的垂直平分線方程聯(lián)立后可得兩直線的交點的縱坐標，此交點的縱坐標的絕對值即為點O1到x軸的距離．然后根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得所求的最值．

試題解析：

(1)根據(jù)題意知，

∴動點A的軌跡是以B,C為焦點，長軸長為4的橢圓，不包括橢圓與x軸的交點．

設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0且y≠0)，

則2c=2，2a=4，

∴a=2，c=1，

∴b=．

∴動點A的軌跡M的方程為=1(y≠0)．

(2)設(shè)P(x0,y0)，不妨設(shè)0<y0≤，

則線段PB的垂直平分線方程為y=-，

線段BC的垂直平分線方程為x=0，

兩條垂線方程聯(lián)立求得y=．

∵=1，

∴y=．

∴☉O1的圓心O1到x軸的距離為d=．

又函數(shù)在區(qū)間(0,內(nèi)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)y0=時，有最小值，且ymin=．

∴點O1到x軸的距離的最小值為．