【題目】如圖3,是一個(gè)直角梯形,,邊上一點(diǎn),、相交于,,.將△沿折起,使平面⊥平面,連接、,得到如圖4所示的四棱錐

(Ⅰ)求證:⊥平面;

(Ⅱ)求直線與面所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析】(I),求得,由此證得,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,,由此可證得平面.(2) O為原點(diǎn),OA、OD、OB所在直線分別為、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.

試題解析

(Ⅰ),,,所以

同理,從而,

又因?yàn)?/span>,所以是平行四邊形,

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面=AE,

所以平面

平面,所以

,

所以

(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直線OA、OB、OD兩兩互相垂直,因此,以O為原點(diǎn),OA、OD、OB所在直線分別為、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

,,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

解得,,取

所以直線與面所成角的余弦值為

(方法二由(Ⅰ)可知,四邊形的面積

連接,則的面積,

三棱錐的體積

的面積

設(shè)到平面的距離為,則,

直線與面所成角的正弦值為,余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:

(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證:f(x)≥-x2+x;

(3)f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , 分別是, 的中點(diǎn).

(1)證明: ;

(2)設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn),若線段長(zhǎng)的最小值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,,因此平面,從而得證(2)先找到EH什么時(shí)候最短,顯然當(dāng)線段長(zhǎng)的最小時(shí), ,在中, , , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個(gè)面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,

為正三角形.又的中點(diǎn),∴.

,因此.

平面, 平面,∴.

平面, 平面,

平面.又平面,∴.

(2)如圖, 上任意一點(diǎn),連接, .

當(dāng)線段長(zhǎng)的最小時(shí), ,由(1)知,

平面, 平面,故.

中, , , ,

,

中, , ,∴.

由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點(diǎn),

可得, , , ,

, ,

所以, .

設(shè)平面的一法向量為,

因此,

,則,

因?yàn)?/span>, , ,所以平面,

為平面的一法向量.又,

所以 .

易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考已知橢圓 的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與直線垂直,垂足為點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

I)求橢圓的方程;

II)如圖,若直線 與橢圓交于, 兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為:,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),點(diǎn).

(1)求出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

(2)設(shè)曲線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,直角梯形中,,、分別是、上的點(diǎn),且,.沿將四邊形翻折至,連接、、,得到多面體,且

Ⅰ)求多面體的體積;

Ⅱ)求證:平面⊥平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動(dòng)點(diǎn),△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1x軸的距離的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:

p1:x0(0,+∞),;

p2:x0(0,1),lox0>lox0;

p3:x(0,+∞),<lox;

p4:x<lox.

其中的真命題是(  )

A. p1,p3 B. p1,p4

C. p2,p3 D. p2,p4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià),每人用水量中不超過立方米的部分按4/立方米收費(fèi),超出立方米的部分按10/立方米收費(fèi),從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:

1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4/立方米, 至少定為多少?

2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,當(dāng)時(shí),估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案